Grenzwert: lim x-->0 (cos x)^{1/x²} über L'Hospital berechnen

Question

Hey ich weiß ist blöd aber ich komm mit mehreren Aufgaben zur Regel von l`Hospital nicht weiter:

Gefragt ist:

Berechnen sie folgenden Grenzwert mit der Regel von l´Hospital:

lim x--> 0 (cos(x))^{1/x^2}

Keine Ahnung wie ich das umformen kann, dass ich die Regel anwenden kann.

Answer 1

(cos x) ^ (1/x^2) = e^ ((1/x^2) * ln(cos(x))) = e^ (ln(cos(x)) / (x^2))

Wir untersuchen den Exponenten

ln(cos(x)) / (x^2) = 0 / 0 --> Regel von L'Hospital anwenden

-tan(x) / 2x = 0 / 0 --> Regel von L'Hospital anwenden

(- 1/cos(x)^2) / 2 = -1/2 wenn ich für x Null einsetzte

Daher ist der Grenzwert

e^{-1/2} = 1/√e ~ 0.6065306597