Beispiel 16.15:
Zwei Vektoren \( \vec{a}=(1 ; 2 ; 3) \) and \( \vec{b}=(4 ; 5 ; 6) \) spannen ein Parallelogramm auf. Man berechne seinen Flächeninhalt A.
Lösung:
Gemäß der Definition zum Vcktorprodukt entspricht der gesuchte Flächeninhalt dem Betrag des aus \( \vec{a} \times \vec{b} \) hervorgegangenen Vektors \( \vec{c} \), der sich mit Gleichung (16.13) berechnen lässt. Vorher ist der Winkel \( \Phi \) mithilfe des Skalarproduktes nach den Gleichungen (16.10) und (16.11) zu bestimmen.
\( \begin{aligned} \cos \phi &=\frac{a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}}{a b} \\ &=\frac{1-4+2 \cdot 5+3 \cdot 6}{3.7-8.8} \end{aligned} \)
\( \cos \phi=0.983 \), daraus folgt \( \phi=10.6 \) " und
\( \sin \phi=0,185 \)
Damit erhält man aus Gleichung (16.13)
\( A=|\vec{C}|=c=3,7 \cdot 8,8 \cdot 0,185=6 \text { Flächeneinheiten } \)
Ansatz/Problem:
Ich verstehe hier nicht, warum der Winkel berechnet wird. Es wird doch nach einem Flächeninhalt gefragt.
Warum wird hier das Skalarprodukt zur Bestimmung des Winkels errechnet?
Man kann doch einfach das Kreuzprodukt nehmen, aber da mache ich anscheinend auch einen Fehler, zumindest ist das Ergebnis für den Flächeninhalt nicht dasselbe.
veca = (1;2;3); vecb = (4;5;6)
veca x vecb = vecc = (-3;6;-3)
A = Betrag vecc = sqrt((-3)²+6²(-3)²) = sqrt54
