Hallo immai,
(a) Zwei Vektoren u, v ∈ R² sind genau dann linear abhängig, wenn gilt ⟨u Ι Jv⟩=0.
ich unterstelle zunächst mal,dass es sich bei ⟨a∣b⟩ um das Skalarprodukt handelt. Dann setze ich u=(uxuy),v=(vxvy) und setze es einfach in den obigen Term ein: ⟨u∣Jv⟩=⟨(uxuy)∣∣∣∣∣(−vyvx)⟩=−uxvy+uyvx=0⟹uxvy=uyvx⟹vxux=vyuyWenn ich nun ux/vx=k setze, dann wäre ux=kvx und genauso uy=kvy und der Vektor u u=(uxuy)=(kvxkvy)=kv ein Vielfaches von v und damit sind beide Vektoren linear abhängig. q.e.d.
(b) Hier hilft stupides Einsetzen: ⟨u∣v×w⟩ =⟨⎝⎛uxuyuy⎠⎞∣∣∣∣∣∣∣⎝⎛vxvyvy⎠⎞×⎝⎛wxwywy⎠⎞⟩ =⟨⎝⎛uxuyuy⎠⎞∣∣∣∣∣∣∣⎝⎛vywz−vzwyvzwx−vxwzvxwy−vywx⎠⎞⟩ =ux(vywz−vzwy)+uy(vzwx−vxwz)+uz(vxwy−vywx) =uxvywz−uxvzwy+uyvzwx−uyvxwz+uzvxwy−uzvywx es kommt jedes mal dasselbe heraus, egal mit welchem von den drei Termen Du beginnst. Schaue Dir mal meine Antwort hier an, wenn Du unsicher mit dem Kreuzprodukt bist.
(c) sind drei Vektoren u, v und w linear abhängig, so kannst Du einen von ihnen als Linearkombination der beiden anderen ausdrücken. Es muss also gelten w=ru+sv wobei r und s Skalare sind, also z.B. r,s∈R. Wieder einsetzen: ⟨u∣v×w⟩ =⟨u∣v×(ru+sv)⟩ =⟨u∣∣∣∣∣∣∣r(v×u)+s=0(v×v)⟩ =⟨u∣r(v×u)⟩ ... und hier könnte man schon aufhören, da v×u senkrecht auf u steht und das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist =0. Wer's nicht glaubt, kann es auch ausrechnen: =⟨⎝⎛uxuyuy⎠⎞∣∣∣∣∣∣∣r⎝⎛vyuz−vzuyvzux−vxuzvxuy−vyux⎠⎞⟩ =r(ux(vyuz−vzuy)+uy(vzux−vxuz)+uz(vxuy−vyux)) =r(uxvyuz−uxvzuy+uyvzux−uyvxuz+uzvxuy−uzvyux) =0
Terme gleicher Farbe heben sich zu 0 auf. Das Ergebnis ist =0.
Gruß Werner