die Nullmatrix in einem Produkt beweisen

Question

ich beschäftige mich gerade mit Matrizen und bin auf eine Aufgabe gestoßen wo ich von euch mal einen denkanstoß brauch.

Angenommen wir haben eine Matrix  A ∈ M_mn ,

es gilt für  X * A = 0 ∈ M_mn  für alle Matrizen X ∈ M_mm

Es ist Logisch, da für alle Matrizen X * A = 0 gilt, muss die Matrix A die Nullmatrix sein. Wie fange ich jetzt aber an dies zu Beweisen?

Answer 1

was für Matrizen sind denn M? (Wenn M_mm nur invertierbare Matrizen beinhaltet dann ist die Gleichung ziemlich trivial).

Wenn X*A = 0 für alle X ∈ M_mm gilt, dann muss die Gleichung auch für die Identität 1 ∈ M_mm gelten. Schau mal was passiert wenn du die Multiplikation von 1*A explizit ausrechnest.

Comments

Hallo Yakyu,

ja die aufgabe ist trivial, jedoch geht es nicht um die schwierigkeit der Aufgabe sondern um die Ordnungsgemäße Beweisführung.

Wie gesagt, jeder sieht sofort das "Egal was" * A = 0, heißt das A = Nullmatrix ist.

Somit auch dein Bsp. 1 * A = 0,

Jedoch will ich das beweisen, eventuelle mit vollständige Induktion?!?

Welchen Weg schlägst du am besten dafür vor?

lg

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Beantworte erst mal was M überhaupt für eine Matrizenmenge ist.

Und du sollst nicht 1*A = 0 betrachten, sondern 1*A = .... = 0 überlegen.

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Sorry für Doppelkommentar, aber wenn dich das nicht weiter bringt, versuch doch einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: A ≠ 0 ∈ M_mn

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Matrix  A ∈ M_mn (IK)

es gilt für  X * A = 0 ∈ M_mn (IK)  für alle Matrizen X ∈ M_mm  (IK)

IK = steht für Körper, dass Zeichen gibt hier leider nicht

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Ja mach mal Widerspruchsbeweis, ich fang mal an

Annahme: A≠0, dann A - 0 ≠ 0 ....

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tut mir leid komme damit nicht weiter... Ich mache das aus privaten ehgeiz und habe kein dozenten der mir das mal erklärt hat.

Kannst du mir sagen wie man damit anfängt? bzw. was dabei zu beachten ist?

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Dozenten helfen meist eh nur beschränkt. Mathematik an sich ist immer sein großer Teil Selbststudium.

Wenn du zeigen willst, dass A = 0_mn ist dann überleg dir folgendes

Annahme: A ≠ 0_mn und es soll gelten für alle X ∈ M_mm , dass X*A = 0_mn 

Fangen wir an:

A ≠ 0_mn,     | das heißt

A - 0 ≠ 0_mn  |linksmultiplikation mit beliebigem X∈ M_mm

X*(A-0) ≠ X*0_mn

X*A - X*0 ≠ X*0_mn

X*A ≠ 0_mn Widerspruch zu der Annahme , dass X*A = 0_mn

Also gilt A = 0_mn

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das ist echt gut erklärt, vielen dank.

Was glaubst du wieviele solcher Annahmen muss ich noch bearbeiten, damit mir das genau so leicht fällt wie dir? :D

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der Anfang ist immer schwer, immerhin kann man das damit vergleichen, dass man eine komplett neue Sprache lernt  An die Denkstrukturen gewöhnst du dich mit der Zeit. Einfach dabeibleiben und versuchen die Grundlagen zu verstehen. Freut mich, dass ich dir helfen konnte.

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@Yakyu: Tut mir leid, wenn ich das hier frage, aber kannst Du mir bei meiner anderen Frage auch helfen?:) Mit der Substi. von ln also von dieser Reihen Aufgabe :)

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Klar, aber stell die Frage doch bitte in deiner ursprünglichen Frage, bzw. mach eine neue auf.

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Ja Danke:)

ich frag dann einfach mal da nach :) weil sonst ist es ja doppelt gestellt :)