Matrix (E+A)^-1 = (E-A) zeigen, wenn A^2 = N (Nullmatrix)

Question

Es sei A eine quadratische Matrix mit A^2 = N. Zeigen Sie (E+A)^-1 = (E-A).

Comments

Soll die Matrix N dabei eine bestimmte Eigenschaft haben?

Answer 1

dieser Beweis funktioniert direkt und algebraisch:

\( (E + A)(E - A) = E + A - A - A^2 = E \).

Fertig.

MfG

Mister

PS: \( N \) steht wahrscheinlich für die Nullmatrix.

Answer 2

Ich nehme mal an, dass N die Nullmatrix sein soll.

Dann:

N = A ²

Wenn A ² die Nullmatrix ist, dann ist auch - A ² die Nullmatrix, also:

=> N = - A ²

Die Nullmatrix erhält man, indem man eine beliebige quadratische Matrix von sich selbst subtrahiert. Das gilt insbesondere auch für die EInheitsmatrix E, also:

=> E - E = - A ²

Auf beiden Seiten die Einheitsmatrix addieren:

=> E + E - E = E - A ²

Linke Seite zusammenfasen:

=> E = E - A ²

Auf der rechten Seite E - A subtrahieren und gleich wieder addieren:

=> E = E * E - E * A + E * A - A ²

Es gilt: E * A = A * E, also:

=> E = E * E - A * E + E * A - A ²

Für beliebige quadratische Matrizen gilt das Distributivgesetz  A * C - B * C = ( A - B ) * C 
daher kann man aus den beiden ersten Summanden E ausklammern und aus den beiden letzten Summanden A ausklammern:

=> E = ( E - A ) * E + ( E - A ) * A 

Für beliebige quadratische Matrizen gilt auch das Distributivgesetz  A * B + A * C  = A * ( B + C )
daher kann man ( E - A ) ausklammern:

=> E = ( E - A ) * ( E + A )

Es gilt: E = ( E + A ) ^-1 * ( E + A ), also kann man die linke Seite entsprechend schreiben:

=> ( E + A ) ^-1 * ( E + A ) =  ( E - A ) * ( E + A )

Multiplikation beider Seiten von rechts mit ( E + A ) ^-1 liefert:

=> ( E + A ) ^-1 * ( E + A ) * ( E + A ) ^-1=  ( E - A ) * ( E + A ) * ( E + A ) ^-1

Es gilt: ( E + A ) * ( E + A ) ^-1 = E, also:

=> ( E + A ) ^-1 * E = ( E - A ) * E

E ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation, also:

=> ( E + A ) ^-1 = ( E - A )

q.e.d.

 

Vielleicht geht es irgendwie noch geschickter, ich hab halt einfach mal losgelegt :-)