Implizite Funktion ableiten

Question

$$ Hi\\ Ich\quad bin\quad gerade\quad am\quad Aufgaben\quad durchrechnen\quad und\quad hänge\quad an\quad einer\quad Aufgabe\quad fest...\\ Es\quad soll\quad die\quad Ableitung\quad folgender\quad Impliziten\quad funktion\quad berechnet\quad werden:\\ { e }^{ y }+{ y }^{ 3 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-1=0\\ Ich\quad komme\quad auf:\\ f'=-\frac { Fx }{ Fy } =\frac { { 3x }^{ 2 }+2x }{ { e }^{ y }+3{ y }^{ 2 } } \\ Stimmt\quad das?\\ Und\quad wie\quad kann\quad ich\quad da\quad den\quad Punkt\quad -2/3\quad einsetzen?\\  $$

Answer 1

Stimmt:
$$F(x,y): e^y+y^3+x^3+x^2−1=0 $$
$$0= e^y\cdot y'+3y^2 \cdot y'+3x^2+2x$$
$$0= y'\cdot (e^y+3y^2)  +3x^2+2x$$
$$ y'\cdot (e^y+3y^2) =-(3x^2+2x)$$
$$ y' =-\frac{3x^2+2x}{ e^y+3y^2  }$$
Einsetzen Punkt P( -2 |  3)
$$ x=-2 ; y=3$$
$$ y'(-2,3) =-\frac{3\cdot (-2)^2+2\cdot (-2)}{ e^3+3\cdot 3^2  }$$

Comments

Hi

danke erstmal für die Verifikation des Ergebnisses.

Aber in der Aufgabe steht man soll f'(0,75) berechnen. Also ist x=0,75 und y=0 oder wie?

Als Ergebnis soll 0 rauskommen.

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Aber in der Aufgabe steht man soll f'(0,75) berechnen.

WO steht das ?

Bitte immer komplette Aufgabenstellungen  posten - gerade bei solchen Komplikationskandidaten!

aber egal ... bei $$ e^y+y^3+x^3+x^2-1=0 $$ braucht man mit dem Rechnen gar nicht erst anzufangen.

Diese Gleichung ist transzendent (bei gesuchtem y) und algebraisch überhaupt nicht lösbar, sondern verlangt nach einem Näherungsverfahren (Newton).

Eine wundervolle Aufgabe, da sie von der Mehrzahl der Funktionenplotter auch nicht verarbeitet wird und sich so dem Spickversuch des Schülers fast erfolgreich zu entziehen weiss.

Answer 2

das sehe ich auch so. Nun musst Du nur noch die x und y-Werte entsprechend einsetzen und Du bist fertig ;).

--> f' = 8/(27+e^3)

Grüße

Comments

warum macht ihr euch die Mühe, einen Punkt einzusetzen, der gar nicht auf der Kurve liegt ?

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" f' = 8/(27+e³)"

halte ich für eine unzulässige Verkürzung.

Es handelt sich nicht um die Ableitung von f, sondern genaugenommen um $$\frac{dy}{dx}$$ und das an einer bestimmten Stelle und nicht generell.

Wobei ich zugebe, dass ich mit Rücksicht auf Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit auch etwas vom exakten Pfad abgekommen bin mit meiner Herleitung, aber Unknowns Variante kann durchaus zu Punkteverlust in der Arbeit führen.

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@hj214: Danke für den Hinweis. Das hatte ich natürlich nicht kontrolliert.

Vorgehen sollte aber klar sein und man kann es ja mit dem richtigen Punkt selbst durchführen ;).

@pleindespoir: Habe mich der Notation von wiki bedient, da ich der Notation wegen selbst nicht ganz sicher war.

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Ich hab mir das auch vorher bei wiki angeschaut, aber dann noch eine zweite Meinung geholt, weils mich nicht so sauber vorkam.

Ich denk mal bis zum Abi ist jeder Lehrer sicher froh, wenn seine Schüler überhaupt soweit kommen wie unsere geschätzte(r) Fragesteller(in) - je nach FH/UNI kann sich aber dann doch mal der eine oder andere Prof an sowas verbeissen.

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Was den inexistenten Punkt angeht ... wo kommt der her ?

Möglicherweise aus einer vorangegangenen Nebenrechnung, die grosszügiger Rundung zum Opfer gefallen ist. Leider existieren in der Menge P(Pauker aller Jahrgänge und Schularten) einige Elemente, die der Meinung sind, Zahlen hinter dem Komma seien nur unnütze Rechnerbelastung.