Implizite Funktion mit Formel ableiten. f(y)/x + x = 2.

Question

Hi,

ich möchte eine implizite Funktion mit dieser Formel ableiten:
$$y'=-\frac { { F }_{ 1 }^{ ' }(x,y) }{ { F }_{ 2 }^{ ' }(x,y) }$$

Diese Funktion soll es sein:  $$\frac { f(y) }{ x } +x=2$$

Es heißt: Die Funktion implizit y als eine Funktion von x. Dabei sei f(y) eine streng monoton steigende Funktion von y. Zudem gelte x > 0.

Mit der obigen Formel komme ich auf:
$$-\frac { f(y)-{ x }^{ -2 }+1 }{ f'(y)*{ x }^{ -1 } }$$

Das Ergebnis soll aber sein: $$-\frac { f(y)-{ x }^{ 2 } }{ f'(y)*{ x } }$$

Wo habe ich denn einen Fehler gemacht? Zunächst habe ich die Funktion nach x abgeleitet und y konstant gehalten. Dann nach y abgeleitet und x Konstant gehalten und das Ganze in die obige Formel eingesetzt.

Comments

Dein Code zur ersten Formel für y' wird nicht umgewandelt. Kannst du ihn vielleicht hier:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

noch anpassen? EDIT: erledigt und eingefügt.

Was ist das genau für eine Formel. Warum leitest du nicht einfach implizit ab?

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Klar, jetzt sollte es passen:


$$y'=-\frac { { F }_{ 1 }^{ ' }(x,y) }{ { F }_{ 2 }^{ ' }(x,y) }$$

Mit dieser Formel soll ich die implizite Funktion ableiten

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Ich leite mal direkt 'normal' ab. Die Formel ist mir schleierhaft. Speziell die Indizes. Wir haben ja nur ein f.

f(y)/x + x =  2           |d/dx Quotientenregel links.

(f ' (y)*y' *x- 1*f(y))/x^2 + 1 = 0          |auflösen nach y'

(f ' (y)*y' *x- 1*f(y))/x^2 = - 1         |*x^2

f ' (y)*y' *x- 1*f(y)= -x^2          |+ f(y)

f '(y)*y ' * x = f(y) - x^2             |:(x*f'(y)

y' = (f(y) - x^2)/(f ' (y) * x) 

Scheint zu passen.

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Meinst du mit scheint zu passen, dass mein Ergebnis mit deinem übereinstimmt?

Die Index geben an, dass die Funktion nach x und y abgeleitet werden sollen.

F'₁(x,y) bedeutet die Ableitung der Funktion nach x 

F'₂(x,y) bedeutet die Ableitung der Funktion nach y 

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Meinst du mit scheint zu passen, dass mein Ergebnis mit deinem übereinstimmt?

Nein. Ich komme ja bis auf das Vorzeichen auf das Resultat, das die in deinem Buch haben.

 

F'₁(x,y) bedeutet die Ableitung der Funktion nach x 

F'₂(x,y) bedeutet die Ableitung der Funktion nach y 

Aha. Aber was muss man denn da als gross F nehmen? Du hast ja eine Gleichung mit einer linken und einer rechten Seite.

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Oh, als F sollte eigentlich f da stehen. Also die Ableitung der gegebenen Funktion.

Also die Formel meint folgendes:
y'=$$-\frac { Ableitung\quad von\quad f(x,y)\quad nach\quad x }{ Ableitung\quad von\quad f(x,y)\quad nach\quad y }$$

Die rechte Seite der Gleichung muss nicht beachtet werden, da sie abgeleitet ohnehin 0 ergibt. Stünde auf der rechten Seite jetzt x, müsste ich das erst auf die linke Seite bringen, sodass ich immer nur eine "relevante" Seite habe.

Beispiel:

xy=5

wobei y implizit als Funktion von x angegeben ist, ist abgeleitet nach y ja -y/x

Auf dasselbe kommt man mit der Formel oben.

Man leitet die Funktion zuerst nach x ab, was y ist. Dann dasselbe Spiel nach y, was x ist. Als Ergebnis erhält man -y/x

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Aha. Das würde ich so rechnen:

 xy = 8                 |ableiten (Produktregel)

xy' + 1*y = 0        |nach y' auflösen

xy' = -y

y' = -y/x

Answer 1

Ich versuch das mal nach deiner Fromel:

Partielle Ableitungen

d/dx (f(y)/x + x) = -f(y)/x^2 + 1 = 1 - f(y)/x^2 = (x^2 -f(y))/x^2             (I)

d/dy (f(y)/x + x) = f ' (y)/x                   (II)

Jetzt (I) / (II) oder 'mit Kehrbruch multiplizieren.

y ' = ((x^2 - f(y)) * x)/(f '(y) * x^2)           kürzen mit x

= ((x^2 - f(y)) )/(f '(y) * x)    
Das ist jetzt das, was dort rauskommt.
Ich habe aber kein MINUS in der Formel benutzt.