Exponentialfunktion y = a^x + b mit P(2/1) und Q(4/0.25). Funktionsgleichung bestimmen.

Question

Ich muss eine Exponentialfunktion bestimmen

Punkte P(2/1) und Q(4/0,25)

Mein Ansatz

y = a ^  x + b

1 = a ^ 2 + b

0,25 = a ^ 4 + b

weiter komm ich nicht. würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

Hallo zieh die beiden Gleichungen voneinander ab und löse die biquadratische Gleichung mit derSubstitution z = a² und der pq-Formel.

Comments

und wie kommt man auf die biquadraitsche Gleichung ?

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Übersetzung von: Gleichungen voneinander abziehen -> 1) 1 = a²+b 2) 0.25 = a⁴ + b
Gleichung 1) - gleichung 2)-> 1 - 0,25 = a²+b - a⁴ - b -> 0,75 = a²-a⁴
...

Answer 2

Vorschlag :

löse die erste Gleichung nach b= .. auf
und setze das Ergebnis für das b in der zweiten Gleichung ein

-> du bekommst dann eine biquadratische Gleichung für die gesuchte Basis a
die kannst du sicher lösen .. (beachte: für a sollten die Werte positiv sein)

Comments

Hier gibt's ganz schönes Echo...

Answer 3

Ich denke die Exponentialfunktion sieht nicht so aus wie Du sie hingeschrieben hast sondern es ist eine Funktion der Form \( y(x)=a\cdot b^x \) gesucht. Dein Ansatz führt zu komplexen Lösungen für \( a \) und \( b \). Der obige Ansatz ergibt reelle Lösungen \( a=\pm \frac{1}{2} \) und \( b=4 \)

Answer 4

Punkte P( 2 | 1) und Q ( 4 | 0.25)
Ich würde eine übliche Exponentialgleichung nehmen.

f ( x ) = a * e^{b*x}

f ( 2 ) = a * e^{2b} = 1
f ( 4 ) = a * e^{4b} = 0.25

a * e^{4b} = 0.25
a * e^{2b} = 1         | beide Gleichungen teilen, a kürzt sich weg
------------------
e^{4b} / e^{2b} = 0.25 / 1
e^{4b-2b} = 0.25
e^{2b} = 0.25  | ln ( )
2b * ln (e ) = ln ( 0.25 )
2b = ln (0.25 )
b = ln (0.25 ) / 2
b = -0.693
einsetzen
f ( 2 ) = a * e^{-0.693*2} = 1
a * e^{-1.386} = 1
a * 0.25 = 1
a = 4
Exponentialgleichung
f ( x ) = 4 * e^{-0.693*x}
Probe
f ( 4 ) = 4 * e^{-0.693*4} = 0.25  | stimmt