Aufgabe Analysis 1 Stetigkeit Quantoren:
Formulieren Sie die folgenden Aussagen mittels der Quantoren \( \forall \) und \( \exists \). Negieren Sie dann die Aussagen formal. Übersetzen Sie diese negierten Aussagen zurück in "Umgangssprache". Hier ist \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall und \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion.
(a) Zu jedem \( x_{0} \in I \) und jedem \( \epsilon>0 \) gibt es ein \( \delta>0 \) derart, dass für alle \( x \in I \) mit \( \left|x-x_{0}\right|<\delta \) gilt, dass \( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon \).
(b) Zu jedem \( \epsilon>0 \) gibt es ein \( \delta>0 \) derart, dass für jedes \( x_{0} \in I \) und jedes \( x \in I \) mit \( \left|x-x_{0}\right|<\delta \) gilt, das \( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\epsilon \).
Bemerkung. Hier handelt es sich um die Definition von Stetigkeit bzw. gleichmäßiger Stetigkeit, die wir später im Detail kennenlernen werden.
