gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(x³+2x)/(x+3)

Question

a) Geben Sie die Definitionsmenge an und bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen

b) Zeigen Sie, dass f genau eine Polstelle hat

c) Unter welchem Winkel schneidet der Graph von f die y-Achse?

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion f.

e) Zeigen Sie, dass die Funktion f kein lokales Maximum besitzt

f) Zeichnen Sie den Graphen von f. Wählen Sie dafür sinnvolle Achseneinteilungen

g) Begründen Sie, dass die Funktion f im Intervall [0;1] eine Wendestelle besitzt

h) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(-2ιf(-2))

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Zeit für Hausaufgaben oder was?

Answer 1

Funktion

f(x) = (x^3 + 2·x)/(x + 3)

a) Geben Sie die Definitionsmenge an und bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen.

D = R \ {- 3}

f'(x) = (2·x^3 + 9·x^2 + 6)/(x + 3)^2

f''(x) = 2·(x^3 + 9·x^2 + 27·x - 6)/(x + 3)^3

b) Zeigen Sie, dass f genau eine Polstelle hat.

Wir haben eine Polstelle bei x = - 3. Der Zähler ist dort ungleich 0.

c) Unter welchem Winkel schneidet der Graph von f die y-Achse?

f'(0) = 2/3

α = 90 - ARCTAN(2/3) = 56.31°

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion f.

(x^3 + 2·x) : (x + 3) = x^2 - 3·x + 11 - 33/(x + 3)

e) Zeigen Sie, dass die Funktion f kein lokales Maximum besitzt.

f'(x) = 0

2·x^3 + 9·x^2 + 6 = 0

x = -4.639380273

f''(-4.639) = 16.98 > 0 --> Tiefpunkt

f(-4.639) = 66.57

g) Begründen Sie, dass die Funktion f im Intervall [0;1] eine Wendestelle besitzt.

f''(x) = 0

x^3 + 9·x^2 + 27·x - 6 = 0

x = 0.2075

f(0.2075) = 0.1322

h) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(-2 | f(-2))

t(x) = f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) = 26·x + 40