Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

Question

Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit 1 km befindet sich ein erstes Flugzeug zum Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit einer Geschwindigkeit von 300 km/h in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$.

Ein Zweites Flugzeug befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt (20|34,2|15,3) und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix}$.

a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte.
Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

b) Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

Mein Ansatz:
1. Geradengleichungen der Flugbahnen aufstellen

$$f_1:\vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + t\cdot\frac{300}{\sqrt6}\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$$

$$f_2:\vec x = \begin{pmatrix} 20\\34,2\\15,3 \end{pmatrix} + t \cdot \frac{400}{\sqrt{17}} \begin{pmatrix} -2\\2\\3 \end{pmatrix}$$

Ebenso den Normalenvektor berechnen (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren)

$\vec n =\begin{pmatrix} 4\\-5\\6 \end{pmatrix}$

Ab diesem Punkt weiß ich nicht mehr wie ich bestimmen kann, in welchen Punkten sich die Flugbahnen am nächsten kommen und wie lange sich nach Beobachtungsbeginn sich die Flugzeuge an diesem Punkt befinden.

Zu b) soll ich eine Gleichung in Funktion von t (Zeit) so aufstellen, dass ich damit den Zeitpunkt berechne zu dem der Abstand zwischen beiden Flugzeugen am kleinsten ist?

Es fällt mir nichts ein, wie ich weiter diese Aufgabe lösen kann.

Erklärt mir bitte ausführlich

Gefragt 16 Okt 2014 von Gast

Vom Duplikat:

Titel: Flugzeuge Vektoren Geschwindigkeit/Zeit

Stichworte: vektoren,flugzeug,geschwindigkeit

Aufgabe:

Text erkannt:

S. 253
$ 9.11 .21 $
nr. 11
a) $ \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) $
$ h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}20 \\ 3 x, 2 \\ 15,3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $
$ d(f)=\sqrt{(t-(20-2 t))^{2}+(2 t-(3 t .2+2 t))^{2}+(t-(15.3+3 t))^{2}} $
$ 6 T R \Rightarrow+\approx 2.26 $
$ 2(2.26)=41,68 \mathrm{~km} $
$ \Rightarrow $ Oer minimale Abstand der Flugreenge betragt $ 41.68 \mathrm{~km} $.

Problem/Ansatz:

ICh

Text erkannt:

11 Bezogen auf ein geeignetes Koordinatensystem mit der Einheit $ 1 \mathrm{~km} $ befindet sich ein erstes Flugzeug zu Beobachtungsbeginn im Koordinatenursprung und bewegt sich geradlinig mit $ A(5|0| 0) \quad B(5|6| 0) $ einer Geschwindigkeit von $ 300 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} $ in Richtung des Vektors $ \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) $. Ein zweites Flugzeug befindet

Fig. 2 sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt $ (20|34,2| 15,3) $ und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $ 400 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} $ in Richtung des Vektors $ \left(\begin{array}{r}-2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $.
a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und
Tipp: berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte. Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden Öberlegen Sie sich, wie sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt? der Richtungsvektor und
b) Zu weichem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten? die Geschwindigkeit zusammenhängen.

Ich habe einen Ansatz für a) aber, weiß nicht mehr, wie es weitergehen soll. Bitte um Hilfe. Danke im Voraus!

Kommentiert 10 Nov 2021 von Gast

📘 Siehe "Flugbahn" im Wiki

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Der_Mathecoach · Answer 1 · 2014-10-16T14:32:03+0000

Zusatzfrage

a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich ihre Flugbahnen am nächsten kommen, und berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte. Wie lange nach Beobachtungsbeginn befinden sich die Flugzeuge jeweils an diesem Punkt?

Hier geht das um den Abstand Windschiefer Geraden

Xa = r·[1, 2, 1]

Xb = [20, 34.2, 15.3] + s·[-2, 2, 3]

N = [1, 2, 1] ⨯ [-2, 2, 3] = [4, -5, 6]

Xa + t·N = Xb

r·[1, 2, 1] + t·[4, -5, 6] = [20, 34.2, 15.3] + s·[-2, 2, 3]

r = 6957/385 ∧ t = 4/385 ∧ s = 727/770

6957/385·[1, 2, 1] = [18.07012987, 36.14025974, 18.07012987]
[20, 34.2, 15.3] + 727/770·[-2, 2, 3] = [18.11168831, 36.08831168, 18.13246753]

Abstand der Punkte

4/385·|[4, -5, 6]| = 0.09116846116

Kannst du jetzt selber ausrechnen zu welchem Zeitpunkt sich die Flugzeuge an den Orten befunden haben?

Kommentiert 18 Okt 2014 von Der_Mathecoach

Hallo Zusammen,

ich komme bis zum Punkt mit, wo der Wert

d = |[316.5029871·r - 20, 50.92047424·r - 34.2, - 168.5682629·r - 15.3]|

gebildet wird. Aber warum kommt im Folgenden d^2 ? Ich habe kein bisschen Verstanden und würde mich über eine Erklärung freuen, zumal ich das sehr umständlich notiert fand.

Lg Daniel

Xa = r·300/√6·[1, 2, 1] = [50·√6·r, 100·√6·r, 50·√6·r]

Xb = [20, 34.2, 15.3] + r·400/√17·[-2, 2, 3] = [20 - 800·√17·r/17, 800·√17·r/17 + 171/5, 1200·√17·r/17 + 153/10]

Der Abstand ist der Betrag der Differenz der Vektoren

d = |[50·√6·r, 100·√6·r, 50·√6·r] - [20 - 800·√17·r/17, 800·√17·r/17 + 171/5, 1200·√17·r/17 + 153/10]|

d = |[316.5029871·r - 20, 50.92047424·r - 34.2, - 168.5682629·r - 15.3]|

d2 = 1.311822947·105·r2 - 1.098489107·104·r + 1803.73

d2' = 2.623645893·105·r - 1.098489106·104 = 0

r = 0.04186880207 h = 151 s

Also etwa 2 Minuten und 31 s nach Beobachtungsbeginn sind sich die Flugzeuge am nächsten.

Kommentiert 11 Okt 2023 von Flfnfkelfnd

lul · Answer 2 · 2021-11-10T18:26:20+0000

Hallo

Weg= Geschwindigkeit Mal Zeit: v als Vektor EINHEITSVEKTOR ev in der gegebenen Richtung,

dann hat man A+|v|* ev*t

deine Rechnung arbeitet also ohne die gegebenen Geschwindigkeiten,

aber Silvia hat dir ja ne Lösung gefunden

Gruß lul

Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen am kleinsten?

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