Analytische Geometrie: Abstand windschiefer Geraden mit Formel berechnen

Question

Aufgabe

Abstand windschiefer Geraden mit Formel d=|(q-p)×n|:|n| berechnen

Problem/Ansatz

g:x=(2/6/4)+r(2/3/2)

h:x=(4/7/-1)+s(1/3/0)

Wie komme ich mithilfe oben genannter Formel zum Ergebnis?

Comments

In der Formel muss das Skalarprodukt verwendet werden, nicht das Vektorprodukt.

:-)

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Danke, hab's korrigiert.

Answer 1

N = [2, 3, 2] ⨯ [1, 3, 0] = [-6, 2, 3]

d = |([2, 6, 4] - [4, 7, -1])·[-6, 2, 3]| / |[-6, 2, 3]| = 25/7

Answer 2

n=(2/3/2)×(1/3/0) ausrechnen.

p=(2/6/4)

q=(4/7/-1)

n, p und q in Formel einsetzten.

Answer 3

d=|(q-p)*n|:|n|

g:x=(2/6/4)+r(2/3/2)

h:x=(4/7/-1)+s(1/3/0)

$$  n= \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6\\2\\3 \end{pmatrix}$$

$$ d = | (\begin{pmatrix} 2\\6\\4 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 4\\7\\-1 \end{pmatrix}) * n|: |n|$$

$$ d = | \begin{pmatrix} -2\\-1\\5 \end{pmatrix}*n|: |n|$$

$$ d = | 25 |: 7   = \frac {25} {7}$$

Comments

Beim 2. Schritt, also

|[(4/7/-1)-(-2/6/4)]×(-6/2/3)|÷7

rechne ich

(6/1/-5)×(-6/2/3)=(-36/2/-15)

und daraus berechne ich dann die Länge (~39), setze es in den Zähler und teile es durch 7

Wo genau liegt mein Fehler bzw. wie genau kommt man auf die (-13/-24/-10)?

Danke für die schnelle Hilfe!

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|[(4/7/-1)-(-2/6/4)]×(-6/2/3)|÷7

stimmt nicht ganz, die erste Komponente von p

sollte doch 2 sein, nicht -2.

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Habe festgestellt, dass ich die Zahlen nicht alle einzeln quadrieren und danach die Wuzel ziehen muss, sondern erst das Skalarprodukt bilden und daraus die Wurzel ziehen muss.

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Stimmt! Vielen Dank!

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Prüft mal bitte eure Formel oder berechnet mal den Abstand ohne Formel.

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@mathef

Für das Vektorprodukt würde ich \times als Verknüpfungszeichen nehmen.

$$\vec a\times\vec b$$

In der ersten Zeile mit d=... müssen Klammern ergänzt werden. Außerdem muss das Skalarprodukt verwendet werden, nicht das Vektorprodukt.

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Danke, da habe ich wohl der vorgegebenen Formel

etwas zu leichtfertig vertraut.

Ich versuche mal zu korrigieren.

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Es gibt tatsächlich nur ganz ganz wenige Formeln in denen zwei Kreuzprodukte gebraucht werden. Von Lehrern und in Schulbüchern habe ich noch keine dieser Formeln gefunden. Das ist allerdings auch nicht verwunderlich denn diese Formel mit einem Vektorprodukt ist auch schon sehr selten in Schulbüchern zu finden. Dafür allerdings zumindest in vielen Formelsammlungen.

Answer 4

Aloha :)

Mit der Formel kann man den Abstand windschiefer Geraden nicht ausrechnen, weil sie falsch ist. Im Zähler muss der Differenzvektor auf \((\vec q-\vec p)\) auf den Normalenvektor \(\vec n\) projeziert werden. Daher muss im Zähler das Skalarprodukt und nicht das Vektorprodukt stehen.$$d=\frac{|(\vec q-\vec p)\cdot\vec n|}{\|\vec n\|}$$In deinem konkreten Fall bedeutet das:$$\vec q-\vec p=\begin{pmatrix}4\\7\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}$$$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot0-2\cdot3\\2\cdot1-2\cdot0\\2\cdot3-3\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\2\\3\end{pmatrix}$$$$\|\vec n\|=\sqrt{(-6)^2+2^2+3^2}=\sqrt{49}=7$$Jetzt kannst du alles zusammenbauen:$$d=\frac{\left|\begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\3\end{pmatrix}\right|}{7}=\frac{|-12+2-15|}{7}=\frac{25}{7}$$