Abstand windschiefer Geraden - Lotfußpunkt & Hilfsebene

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen und mir das Lotfußpunktverfahren noch einmal näher erklären?

"Berechnen sie den Abstand der Geraden g und h. Geben sie den Lotfußpunkt an."

g: x = (7,7,4) + s * (1,-2,6)

h: x = (-3,0,5) + r * (1,0,-3)

Mithilfe der Hilsebene bekomme ich den Abstand 11 heraus; allerdings komme ich mit der Hilfsebene nicht zum Lotfußpunkt. Oder gibt es dort eine Möglichkeit?

Mithilfe des Lotfußpunktverfahren bekomme ich den Lotfußpunkt (-726/5;363/5;242/5) heraus. Das kann allerdings nicht stimmen, da der Abstand zwischen den Geraden 169,4 beträge.

Wo ist mein Fehler? Bzw. gibt es eine Alternative?

Vielen Dank!

Answer 1

Senkrecht zu beiden Geraden ist folgender Richtungsvektor

[1, -2, 6] ⨯ [1, 0, -3] = [6, 9, 2]

[7, 7, 4] + r·[1, -2, 6] + s·[6, 9, 2] = [-3, 0, 5] + t·[1, 0, -3] --> r = -1 ∧ s = -1 ∧ t = 3

Der Abstand wäre

d = |1·[6, 9, 2]| = 11

Die Lotfußpunkte der Verbindungsstrecke sind

L1 = [7, 7, 4] - 1·[1, -2, 6] = [6, 9, -2]

L2 = [-3, 0, 5] + 3·[1, 0, -3] = [0, 0, -4]

Comments

Danke.

Allerdings ist mir vorhin ein Fehler aufgefallen; die Gleichung h: x = (-3,0,5) + r * (1,0,-3) war falsch angegeben. Der Richtungsvektor ist nicht (1,0,3), sondern (1,0,-3).

Und seltsamerweise habe ich gerade probiert, es nochmal nachzurechnen, und komme erneut auf ein neues Ergebnis.

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Dein Abstand von 11 ist jetzt richtig. Ich habe die beiden Lotfußpunkte noch dazu berechnet.

Answer 2

Mit der korrigierten Aufgabenstellung komme ich auf einen Abstand von 5/11

Comments

Es sollte in der Klammer (7 - 2s) statt (-7 - 2s) lauten oder?

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Danke, ja klar.