Die obige Aufgabenstellung kann unendlich viele Lösungen liefern. Es fehlen Angaben, ohne die eine konkrete Lösung nicht bestimmbar ist. Wünscht man eine knickfreie und auch "hundekurven"freie Verbindung setzt man wie folgt an:
Zunächst muss man die Endstellen kennen, die es zu verbinden gilt.
Wir nehmen mal willkürlich P=(0|0) und Q=(100|50) an
An diesen Punkten muss die Ableitung der Steigung der ankommenden/abgehenden Strecke festgestellt werden - hier ist sie in beiden Fällen Null.
Damit die Kurve einen nicht vom Sessel in den Graben reisst, soll auch die zweite Ableitung an den Endstellen Null sein.
Dann kann man folgende Gleichungen ansetzen:
$$ f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $$
$$ f'(x)= 5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e $$
$$ f''(x)= 20ax^3+12bx^2+6cx+2d $$
I: $$ f(0)= 0 $$$$ 0= f $$
II:$$ f(100)= 50 $$$$ 50= a100^5+b100^4+c100^3+d100^2+e100+0 $$
III:$$ f'(0)= 0 $$$$ 0= e $$
IV:$$ f'(100)= 0 $$$$ 0= 5a100^4+4b100^3+3c100^2+2d100+0 $$
V:$$ f''(0)= 0 $$$$ 0= 2d $$
VI:$$ f''(100)= 0 $$$$ 0= 20a100^3+12b100^2+6c100+0 $$
dank der praktischen Werte reduziert sich das Gleichungssystem auf:$$$$
II:$$ 50= a100^5+b100^4+c100^3 $$
IV:$$ 0= 5a100^4+4b100^3+3c100^2 $$
VI:$$ 0= 20a100^3+12b100^2+6c100 $$
etwas günstigere Parameter herbeimultiplizieren:$$$$
II:$$ \frac{150}{100^3}= 3a100^2+3b100+3c $$
IV:$$ 0= -5a100^2-4b100-3c $$
VI:$$ 0= 10a100^2+6b100+3c $$
addieren:$$$$
II+IV:$$ \frac{150}{100^3}= -2a100^2-b100 $$
IV+VI:$$ 0= 5a100^2+2b100 $$
wieder angenehme Parametrierung:$$$$
II+IV:$$ \frac{300}{100^3}= -4a100^2-2b100 $$
IV+VI:$$ 0= 5a100^2+2b100 $$
und addieren:$$$$
(II+IV)+( IV+VI):$$ \frac{300}{100^3}= a100^2 $$
(II+IV)+( IV+VI):$$ \frac{300}{100}= a $$
$$a=3$$
