Zwei Wendepunkte mit Parameter. Wie kommt die Ungleichung zustande?

Question

EDIT: f(x)= x⁴+ ax³+bx² 

Die Diskriminate soll ja Null ergeben, sodass zwei Lösungen gegeben sind 

Nun kann ich aber die folgenden Schritte nicht mehr nachvollziehen.

Woher kommt die 8/3 b in der Wurzel und wie kommt man darauf ?

( Ableitungen und die PQ Formel ist bereits gebildet worden) 

Bitte um Hilfe 

Answer 1

a^2 / 16 - 1/6 * b > 0
a^2 / 16 > 1/6 * b
a^2 > 16 / 6 * b

a > √ ( 16 / 6 * b )
a > √ ( 8 / 3 * b )
a < - √ ( 8 / 3 * b )

Comments

Vielen Dank für die Antwort .

Es ist jetzt nachvollziehbarer 

Warum wird eigentlich nach a aufgelöst ?

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Es wird nur die Abhängigkeit des Parameters
a von b berechnet.
Die kannst die Lösung auch nach b umstellen
und hast dann die Abhängigkeit  b von a.

Um noch Genaueres zu sagen müßte ich
den Originalfragetext kennen.

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Gegeben sei die Funktion f(x)= x⁴+ ax³+bx² 

Welche Werte müssen die Parameter a und b annehmen, damit zwei Wendepunkte vorliegen.

Die ersten zwei Ableitungen wurden bereits gemachten und die PQ Formel angewendet . 

Danke nochmal

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f ( x ) = x^4 - a * x^3 + b * x^2
f ´( x ) = 4 * x^3 - 3 * a  * x^2 + 2 * b * x ;
f ´´( x ) = 12 * x^2 - 6 * a * x + 2 * b

Wendepunkt
12 * x^2 - 6 * a * x + 2 * b  = 0

x = a / 4  ± √ 3 / 12 * √ ( 3 * a^2 - 8 * b )

Falls
( 3 * a^2 - 8 * b ) = 0 ist : 1 Wendepunkt
( 3 * a^2 - 8 * b ) < 0 : kein Wendepunkt
( 3 * a^2 - 8 * b ) > 0 : 2 Wendepunkte

 3 * a^2 - 8 * b > 0
zwischen a und b gilt dann
3 * a^2 > 8 * b
a^2 > 8 / 3 * b
a > + √  ( 8 / 3 * b )
a < - √  ( 8 / 3 * b )

Daselbe wie die Lösung in meiner
Antwort.

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Ist dieser Kommentar Ausdruck deiner begrenzten mathematischen Fähigkeiten oder warst du einfach nur schlampig ?

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Ich würde mir bei einer Kritik etwas mehr Details wünschen.

Achso.

Wie sieht eigentlich eine Funktion 4. Grades mit nur einem Wendepunkt aus?

PS: Die Spam-Markierung ist nicht von mir.

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Wie sieht eigentlich eine Funktion 4. Grades mit nur einem Wendepunkt aus?

Gute Frage! Wendepunkt heisst eigentlich Übergang von Links- in Rechtskurve oder umgekehrt. Jedes Polynom 4. Grades sollte aber, falls es von links als Rechtskurve beginnt, rechts als Rechtskurve wieder im Unendlichen verschwinden oder umgekehrt. D.h. so was gibt es wohl gar nicht. 

Answer 2

Die Diskriminate soll ja Null ergeben, sodass zwei Lösungen gegeben sind .

Nein die Diskriminante muss grösser als 0 sein, damit zwei verschiedene Lösungen vorhanden sind. 

Geht es um ein Polynom 4. Grades mit der Gleichung f(x)= x⁴+ ax³+bx²  ?  Was weiss man über a und b? 

Warum wird eigentlich nach a aufgelöst ?

Eine Ungleichung mit 2 Unbekannten a und b hat in der Regel unendlich viele Zahlenpaare als Lösung. Bei diesen Zahlenpaaren kannst du dann eine Zahl (fast beliebig) wählen und bekommst über die Auflösung nach der andern Unbekannten dann die Möglichkeiten für die andere Unbekannte.

Die Musterlösung enthält in diesem "Beispiel" noch einen Fehler, bzw. das Beispiel ist so nicht fertig. Wenn b<0 ist, kann man die Wurzel, die dort angegeben wird gar nicht berechnen. 

Fall b<0.  

a^2/16 - b/6 > 0 , also a^2/16 > b/6 . Da Quadrate (hier a^2) nie kleiner als 0 sind, ist diese Ungleichung für beliebige reelle a erfüllt. 

Warum wird eigentlich nach a aufgelöst ? 

Das ist an sich nicht nötig, um die Frage (Welche Werte müssen die Parameter a und b annehmen, damit zwei Wendepunkte vorliegen?), die du unten im Kommentar angegeben hast zu beantworten, ist man fertig, wenn man a² / 16 -  b/6 > 0 gefunden hat. Der Teil "Wähle… " ist nur eine Illustration, was man nun mit dieser Ungleichung noch anstellen könnte. 

Comments

Hallo Lu,
du hast ja sehr viel zu der Frage geschrieben.

War nicht die einfache Anfrage : wie komme
ich von von dem ersten Term auf dem
Foto auf den 2.Term ?

Woher kommt die 8/3 b in der Wurzel und
wie kommt man darauf ?

Meiner Meinung nach dürfte mein erster
Antworttext doch schon genügen.

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@georgborn: Mein Anliegen sind primär aussagekräftige Überschriften und Tags. Das redigiere ich, wenn ich gerade dazu komme. Wenn mir in der Fragestellung etwas auffällt (z.B. fehlende Informationen, Fehler… reagiere ich gelegentlich in Kommentar oder Antwort).  Ich denke, du hattest die vorhandene Frage nach der Umformung beantwortet und habe mich nicht mit deiner Antwort befasst. Als Moderator kannst du übrigens auch nachgelieferte Informationen zur Frage in der Fragestellung ergänzen.