Zeichne die Gerade g = vec{a} + vec{b} und die Gerade h durch C und D in ein Koordinatensystem

Question

Sei

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \)

a) Zeichne die Gerade \( g = \vec{a} + \vec{b} \) und die Gerade h durch C und D in ein Koordinatensystem.

b) Untersuche, ob sich g und h schneiden und berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt.

(c) Zeiche die Parallele \( g^{\prime} \) zu \( g \) durch C ein und gib eine Punkt-Richtungs-Form für g an.

Ich habe beispielsweise gegeben a Vektor und b Vektor. Man will eine gerade = a vektor + plus b vektor. Dann kann ich die gegebenen Vektoren einfach einsetzen? Ich muss nichts rechnen. Nur wenn da AB Vektor stehen würde, nicht wahr?

Comments

Wenn du nur die Vektoren voneinander abziehst, hast du nur den Richtungsvektor. Eine Gerade besteht aus Ortsvektor plus Richtungsvektor.

Answer 1

g = a + (b)             Buchstaben bei Vektoren fett. Darf man so nicht schreiben.

Diese spezielle Klammerung um den Vektor b müsste irgendwo definiert sein. Da müsste dann stehen, dass damit  (b) = t * b , t Element R gemeint ist.

g: r = a + t*b          , ist eine übliche Darstellung einer Geradengleichung. Diese hat den Stützvektor a und den Richtungsvektor b.

Bei h musst du tatsächlich nichts rechnen. Da kannst du einfach die Spitzen der Vektoren c und d miteinander verbinden.

EDIT: Gemeint mit <b> ist offenbar die linear Hülle von b.

g: r = a + t*b     , t Element R

g: r = a + <b>    

Zu b)

g: r = (-1 , -2, 3) + t ( 0, -1, 3)

h: r = (3, 0 , 0) + s (0,1,2)

Da alle Punkte auf g die x-Koordinate -1 und alle Punkte auf h die x-Koordinate 3 haben, schneiden sich die beiden Geraden nicht.

Zu c)

g': r = (3, 0, 0) + u ( 0, -1, 3) = c + u * (d-c) 

g': r = (3, 0, 0) + < ( 0, -1, 3)> = c + <d-c>

Comments

Mehr zur Darstellung von Geradengleichungen vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Verallgemeinerung

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Also mache ich g: a + ab ?

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Wie gesagt, weiss ich nicht, was ihr definiert habt.

Ausserdem sehe ich nicht was unter deinem Gekriebel stand.

Eine Geradengleichung sieht so aus: g: r = a + t*b  

vgl. oben.

a ist der Stützvektor und 

b der Richtungsvektor. Dessen kannst du direkt in der Spitze von a ansetzen.

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Das ist ein kleines g für eine Gerade. Sieht man aber auch. Davor würde man es gr nicht erkennen.

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r = (x,y,z) ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf g.

g selbst ist eine Punktmenge und kein Vektor.

Im Link, den ich dir angegeben habe wird x benutzt statt r. Ist etwas gefährlich, wenn die erste Koordinate auch x heisst.

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Das meine ich ja kann ich dann das a für den ortsvektor nehmen und dann für den richtungsvektor a minus b rechnen? Oder soll ich das a und das b wie es da steht nehmen. Das ist meine Frage

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Wie gesagt, weiss und sehe ich nicht, wie ihr diese Klammer um b definiert habt, nehme einfach an, dass b direkt als Richtungsvektor gemeint ist.

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Vgl. https://www.mathelounge.de/160962/rechnen-mit-vektoren?show=161259#c161259

Offenbar ist (b) die lineare Hülle von b.

Also ist b einfach der Richtungsvektor.