Zeichne die Pyramide in ein Koordinatensystem. Stelle die sechs Vektoren als Linearkombination dar.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine dreiseitige Pyramide mit den Eckpunkten \( \mathrm{A}(8 / 6 / 2) \), \( \mathrm{B}(6 / 12 / 0), \mathrm{C}(-2 / 10 /-2) \) und \( \mathrm{D}(2 / 8 / 6) \)

a) Zeichne die Pyramide in ein Koordinatensystem.

b) Seien \( \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{A B}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{A C}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{w}}=\overrightarrow{\mathbf{A D}} \) die Basisvektoren, die die Pyramide aufspannen. Gib die Komponenten von \( \vec{u}, \overrightarrow{\mathbf{v}} \) und \( \vec{w} \) an.

c) Mit \( M_{a}, M_{b} \) und \( M_{c} \) sind die Mittelpunkte der von \( D \) ausgehenden Kanten bezeichnet. Ermittle die Komponenten der Vektoren \( \overrightarrow{\mathbf{D M}}_{\mathbf{n}}, \overrightarrow{\mathbf{D M}_{\mathrm{b}}}, \overrightarrow{\mathbf{D M}_{\mathrm{c}}}, \overline{\mathbf{M}_{\mathrm{a}} \mathbf{M}_{\mathrm{b}}}, \overline{\mathbf{M}_{\mathrm{b}} \mathbf{M}_{\mathrm{c}}} \) und \( \overline{\mathbf{M}_{\mathrm{c}} \mathbf{M}_{\mathrm{n}}} \) mittels der Basisvektoren \( \overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}} \) und \( \overrightarrow{\mathbf{w}} \).

d) Stelle die sechs Vektoren aus c) als Linearkombination von \( \overrightarrow{\mathrm{u}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{v}} \) und \( \vec{w} \) dar.

Answer 1

z.B. für u rechnest die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A
und hast dann den Vektor (Ich schreibe die Koo mal nebeneinander statt untereinander)
   u = ( -2 / 6 / -2 )   und so geht das für die anderen auch: Immer 2. Punkt minus 1. Punkt.

Und für die Mittelpunkte rechnest du immer so:
Mittelpunkt der Kante von D  nach A ist M_a :
Immer die Summe der Koo durch 2:
M_a = (     (2+8)/2    ;    (8+6)/2    ;   (6+2)/2 ) =  ( 5 ; 7 ; 4)   etc.