Komplexe Zahlen: zeige , dass für jede komplexe Logarithmusfunktion L gilt: d/dx L(x+iy)= 1/(x+iy).

Question

A) geben sie (1+i)²⁰¹⁴ in der Form x+iy (mit x,y ∈ℝ) an.

B) zeige , dass für jede komplexe Logarithmusfunktion L gilt:

d/dx L(x+iy)= 1/(x+iy).

Danke :)

Comments

1. Ist nur das x unter dem Bruchstrich? Erledigt.

2. Wie habt ihr "jede komplexe Logarithmusfunktion L" genau definiert?

Zu  (1+i)²⁰¹⁴ 

Benutze die Polarform 1+i = √2 * e^{iπ/4} zum Potenzieren und gehe nachher zurück in die Form x + iy.

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Unter dem bruch ist nicht nur x sondern:

X+iy.

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EDIT: 1. Erledigt. Habe Klammern um den Nenner ergänzt. So ist klar, was da gemeint ist.

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Vielen dank

War echt sehr hilfreich

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Bitte. Gern. ;)

Vielleicht kümmert sich dann noch wer um die Ableitung des Logarithmus.

Answer 1

$$ \ln(x+iy)  $$
Polarform:
$$ \ln\left(\sqrt{x^2+y^2} \cdot e^{i \arctan\frac yx}\right)  $$
$$ \ln\left(\sqrt{x^2+y^2} \right) +\ln\left( e^{i \arctan\frac yx}\right) $$
$$ \frac12 \ln\left(x^2+y^2 \right) +i \arctan\frac yx $$
Ableitungen:$$$$
I:$$ \frac{\partial\frac12 \ln\left(x^2+y^2 \right)}{\partial x} +\frac{\partial i \arctan\frac yx}{\partial x} $$
II:$$ \frac{\partial\frac12 \ln\left(x^2+y^2 \right)}{\partial y} +\frac{\partial i \arctan\frac yx}{\partial y} $$
I:$$\frac12 \frac{\partial \ln\left(x^2+y^2 \right)}{\partial x} +i \frac{\partial  \arctan\frac yx}{\partial x} $$
II:$$\frac12 \frac{\partial \ln\left(x^2+y^2 \right)}{\partial y} +i \frac{\partial  \arctan\frac yx}{\partial y} $$
I:$$\frac12 \frac{2x}{x^2+y^2} -i  \frac y {x^2+y^2} $$
II:$$\frac12 \frac{2y}{x^2+y^2} +i \frac y {x^2+y^2} $$
I:$$ \frac{x}{x^2+y^2} -i  \frac y {x^2+y^2} $$
II:$$ \frac{y}{x^2+y^2} +i \frac y {x^2+y^2} $$
I+II: $$ \frac{x}{x^2+y^2} -i  \frac y {x^2+y^2} + \frac{y}{x^2+y^2} +i \frac y {x^2+y^2} $$
I+II: $$ \frac{x}{x^2+y^2}  + \frac{y}{x^2+y^2}  $$
I+II: $$ \frac{x+y}{x^2+y^2}    $$
I+II: $$ \frac{x+y}{(x+iy)(x-iy)}    $$
Fortsetzung im Kommentar, sonst wirds zu lang ...

Comments

Annahme:
$$ \frac{x+y}{(x+iy)(x-iy)} = \frac {1}{x+iy}   $$
$$ \frac{(x+y)(x+iy)}{(x+iy)(x-iy)} = \frac {(x+iy)}{(x+iy)}   $$
$$ \frac{(x+y)}{(x-iy)} = 1  $$

was besser nicht zu beweisen gewesen wäre: ich hab wohl irgendwo was verfummelt ...
Vielleicht mach ich mal eine Pause jetzt