Betragsungleichung lösen: (|3−x|)/(3+x)> x+1

Question

(|3−x|)/(3+x)> x+1

wie gehe ich am besten an so eine aufgabe ran ?

Comments

Fallunterscheidung ist der Anfang

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was muss man den genau unterscheiden ? Ich muss doch für x ein wert einsetzen damit 0 raus kommt ,damit die betragsstriche wegfallen ,oder ?

Answer 1

$$ \frac{|3−x|}{(3+x)}> x+1  $$

Es gibt hier drei Faktoren, die eine Vorzeichenwendung verursachen können:$$$$
I:$$ 3−x \ge0 $$
II:$$ 3−x \lt 0 $$
A:$$ 3+x \ge0 $$
B:$$ 3+x \lt 0 $$
a:$$ x+1 \ge0 $$
b:$$ x+1 \lt0 $$
macht insgesamt 8 Fallkombinationen, die allerdings nicht alle untersucht werden müssen, weil sich einige gegenseitig ausschliessen. Vier Intervalle sind möglich und die müssen durchgecheckt werden.

Comments

Welche drei wären das und wieso ? Wenn ich es wüsste wär ich nicht hier :D

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Das habe ich doch oben aufgelistet - was ist daran unsichtbar ?

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lustig - ich sehe kein vorzeichenwechsel ,trotzdem danke !

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Wenn etwas grössergleich Null ist , hat es ein positives Vorzeichen.

Ist es kleiner Null hat es ein negatives Vorzeichen.

Das ist der Unterschied.

Sobald das Vorzeichen bei einer Relation oder einem Betrag gewendet wird, muss man etwas beachten.

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ja das ist richtig ,aber wie komm ich jetz auf die lösung?

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Noch ein Hinweis zum finden der intervallgrenzen:$$$$
I:$$ 3 \ge x $$
II:$$ 3 \lt x $$
A:$$ x \ge -3 $$
B:$$ x \lt -3 $$
a:$$ x \ge-1 $$
b:$$ x \lt-1 $$
Welche Kombinationen sind sinnvoll ?

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I , II , B und b ?

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Nochmal in etwas anderer Darstellung:$$$$
I:$$ x \le 3 $$
II:$$ x \gt 3 $$
A:$$ x \ge -3 $$
B:$$ x \lt -3 $$
a:$$ x \ge-1 $$
b:$$ x \lt-1 $$
Zeichne mal zur Veranschaulichung einen Zahlenstrahl.
Fangen wir mal an ... Wenn II gilt, kann B nicht auch gelten. Ebenso entfällt b wenn II gilt. Also bleibt nur eine sinnvolle Kombination, nämlich IIAa.
Nun suche die nächsten 3 sinnvollen Intervalle.

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IBb  IIAa ??

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Sehr schön - eine Variante habe ich schon verraten und eine weitere hast du gefunden. Hast du das mit dem Zahlenstrahl gemacht ?

Jetzt gibt es noch zwei weitere Intervalle zu finden ...

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Ich blicke da nicht mehr durch . Um die Betragsstriche aufzulösen muss ich doch nur die definiton des betrages anwenden . das heißt 1.fall  x>3  =  -3+x durch 3+x > x+1  2.fall x<3  3-x durch 3+x >x+1 ?

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Das sind die Fälle römisch I und römisch II

Wenn aber noch Faktoren mit im Spiel sind, die negativ werden können, dann gilt Wendung des Relationszeichens bei negativem Faktor. also müssen diese Fälle auch beachtet werden.

Hast Du inzwischen einen Zahlenstrahl konstruiert, um dir die Intervalle zu veranschaulichen ?

Wenn Du das gemacht hättest, könntest du die Unterscheidungen mit verschiedenen Buntstiften eintragen und es würde dir wie Schuppen aus den Haaren fallen, was zu machen ist.

Solange die Unterscheidungsintervalle nicht geklärt sind, braucht man gar nicht erst loszurechnen.

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ja habe den zahlenstrah konstuiert ...kannst du mir die aufgabe nicht einmal ausführlich aufschreiben oder eventuell eine ähnliche als musterlösung , blicke da nicht mehr durch :(

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Vielleicht noch ein Gedanke am Rande: Im Verlaufe der Umformung der Ungleichung wollen wir vermutlich unter anderem die beiden folgenden Dinge, die eine Fallunterscheidung erforderlich machen können, tun: Zum einen wollen wir den Betrag durch seine Definition auflösen und zum anderen wollen wie den Quotienten durch Multiplizieren der Gleichung mit seinem Nenner beseitigen.

Sowohl das Betragsargument als auch der Nenner haben genau eine kritische Stelle, an der ihr Vorzeichen wechseln kann. Die beiden Stellen sind nicht gleich und zerlegen den Zahlenstrahl in die zu betrachtenden Fälle.

Die Sonderfälle x = −3 (nicht im Definitionsbereich der Gleichung)
und x = 3 (offensichtlich keine Lösung) können wir vernachlässigen.

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puh danke für die tipps ...komme trotzdem nicht auf die lösung ich lass die aufgabe lieber weg hat keinen sinn -.- dummer bruch

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Zitat: "Ja, ich habe den Zahlenstrahl konstruiert..."

Gut, dann trag da mal die beiden kritischen Stellen ein. Dadurch wird der Zahlenstrahl in drei Teile geteilt. Dies sind die drei Fälle, die es zu unterscheiden gilt.

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ja wenn ich fall I und II mit A und B einzeichne ,dann erhalte ich jeweils 3 Teile ... jetz fehlt nur noch die Rechnung -.-

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Wär es nicht möglich eventuell eine Musterlösung anzufertigen ,da ich die Schritte dann besser nachvollziehen kann ,da ich noch nicht mal weiß wieso du überhaupt an x>-1 und so ran kommst . (oder vielleicht hast du eine ähnliche Aufgabe , welches das Schema deutlich macht )

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Ok, hier die drei relavanten Fälle:

$$ \begin{aligned} \textrm{(1)}\quad \frac{|3−x|}{(3+x)} &> x+1 \quad \land \quad x < -3 \\\\ \textrm{(2)}\quad \frac{|3−x|}{(3+x)} &> x+1 \quad \land \quad -3 < x < 3 \\\\ \textrm{(3)}\quad \frac{|3−x|}{(3+x)} &> x+1 \quad \land \quad 3 < x \\\\ \end{aligned} $$

Such Dir einen aus, den rechne ich Dir dann vor.

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den 2ten ,bitte .

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Dann überlege mal, welche Vorzeichen der Betrag im Nenner bzw. der Zähler in diesem Intervall haben.