Betragsungleichung: |(x^2 + 1) / (x - 1)| < |x - √2|

Question

Wie löse ich eine solche Ungleichung ?

Bitte Schrittweise mit Lösungsweg

Danke für eure Hilfe

|(x^2 + 1) / (x - 1)| < |x - √2|

Comments

wosndasbildhingekommen?

Answer 1

Voruntersuchung:

An welchen Stellen können Vorzeichenwechsel entstehen ?

links und rechts davon unterscheiden sich die Fälle.

Welche Unterscheidungen sind möglich und welche sinnvollen Intervalle entstehen ?

Gibt es Einschränkungen des Definitionsbereiches ?

Fortsetzung folgt nach Bearbeitung der denkanstössigen Rückfragen...

Answer 2

|(x^2 + 1) / (x - 1)| < |x - √2|
(x^2 + 1) / |(x - 1)| < |x - √2|

Fallunterscheidungen

x - 1 = 0
x = 1

x - √2 = 0
x = √2

Fall 1: x ≤ 1

(x^2 + 1) / -(x - 1) < -(x - √2)
x < 3 - 2·√2 ∨ x > 1

--> x < 3 - 2·√2

Fall 2: 1 ≤ x ≤ √2

(x^2 + 1) / (x - 1) < -(x - √2)
x < 1

--> Keine weitere Lösung

Fall 3: x ≥ √2

(x^2 + 1) / (x - 1) < (x - √2)
3 - 2·√2 < x < 1

--> keine weitere Lösung

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Wieso kann ich die Betragsstriche weglassen?

---

(x² + 1) ist sowieso immer positiv. Daher kann ich die hier weglassen.

---

Fehlerhinweis :

Fallunterscheidung
x - 1 = 0
x = 1
x - √2 = 0  ( falsch )

Der Nenner des linken Bruchs wird dann zu
( x^2 + 1 ) / ( 1 - 1 )
( x^2 + 1 ) / 0

x = 1 muß aus der Lösungsmenge ausgeschlossen werden

---

Ich kann heute morgen noch nicht ganz folgen warum es falsch ist.

Ich rechne erstmal die Stellen aus an denen die Beträge Null werden. Das sind hier potenzielle Vorzeichenwechsel und dienen anschließend der Unterscheidung der Fälle.

Weiterhin kann man hier direkt daran die Einschränkung der Definitionsmenge erkennen. Diese habe ich selber nicht eingeschränkt weil bei der Lösung

x < 3 - 2·√2

diese Einschränkung nicht notwendig ist. Die 1 befindet sich ja erst gar nicht im Bereich der Lösungsmenge.

---

@mathecoach
Ich hab das Mißverständis.

Ich habe gedacht du hättest zuerst nachgeschaut
was der Def-Bereich wäre und dafür
x - 1 = 0 gebildet um die Division durch 0
auszuschließen.