Inwieweit kann ich den folgenden Ausdruck mit Bruchtermen vereinfachen?

Question

Wie weit kann ich denn Ausdruck noch vereinfachen?

\( \left(\frac{1}{x+1}-\frac{3}{x^{3}+1}+\frac{3}{x^{2}-x+1}\right)\left(x-\frac{2 x-1}{x+1}\right) \)

Answer 1

(1/(x + 1) - 3/(x^3 + 1) + 3/(x^2 - x + 1))·(x - (2·x - 1)/(x + 1))

= (1/(x + 1) - 3/((x + 1)·(x^2 - x + 1)) + 3/(x^2 - x + 1))·(x - (2·x - 1)/(x + 1))

= ((x^2 - x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1)) - 3/((x + 1)·(x^2 - x + 1)) + 3·(x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1)))·(x - (2·x - 1)/(x + 1))

= ((x^2 - x + 1) - 3 + 3·(x + 1))/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x - (2·x - 1)/(x + 1))

= (x^2 + 2·x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x - (2·x - 1)/(x + 1))

= (x^2 + 2·x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x·(x + 1)/(x + 1) - (2·x - 1)/(x + 1))

= (x^2 + 2·x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x·(x + 1) - (2·x - 1))/(x + 1)

= (x^2 + 2·x + 1)/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x^2 - x + 1)/(x + 1)

= (x + 1)^2/((x + 1)·(x^2 - x + 1))·(x^2 - x + 1)/(x + 1)

= ((x + 1)^2)/((x + 1)) · 1/(x + 1)

= 1/1 · 1/1

= 1

Answer 2

Hauptnenner für die Summen bilden und dann ausmultiplizieren.

Answer 3

Vereinfachend : 1
Stimmt. mfg Georg
Dies wäre zu Fuß aber eine ziemliche Rechnerei.

Comments

Eigentlich nicht. Der Term ist so übersichtlich, dass man ihn im Kopf vereinfachen kann. Als Tipp weise ich darauf hin, dass x^3+1 faktorisierbar ist. Dies ist nicht für jeden offensichtlich. Durch Gleichnamigmachen, Zusammenfassen und Kürzen löst sich alles in Wohlgefallen auf.

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Als Tipp weise ich darauf hin, dass x³+1 faktorisierbar ist.
Dies ist nicht für jeden offensichtlich.

Ich scheine gerade Tomaten auf den Augen zu haben. Wie ?

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Da x = -1 offensichtlich eine Nullstelle von obigem Polynom ist, kann man den Linearfaktor (x+1) erkennen. Polynomdivision führt auf (x+1)(x^2-x+1).

Morgendliche Grüße

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Ich habe mal beide Summen zusammengefasst:

(\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { { 3x }^{ 2 }+6 }{ { 2x }^{ 5 }{ -2x }^{ 4 }{ +2x }^{ 3 }{ +2x }^{ 2 }-2x+2 } )(x-\frac { 2x-1 }{ x+1 } )

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Der Tip zur Linearfaktorzerlegung von unknown ist ok.

Der Term ist so übersichtlich, dass man ihn im Kopf vereinfachen kann.
Naja. Ob jemand den Adlerblick hat ?

Answer 4

Wenn man das Ganze ausmulitpliziert und danach Nenner und Zähler in Linerarfaktoren zerlegt, kann man alles wegkürzen und es bleibt als Ergebnis 1 stehen.

Comments

Hallo tiktok2, das ist zwar richtig, wenn man aber statt auszumultiplizieren alles zunächst zusammenfasst und dann kürzt, ist man wesentlich schneller fertig!

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Jetzt nochmal besser, hoffentlich:

Also Summe zusammengefasst:

$$ (\frac { 1 }{ x+1 } -\frac { { 3x }^{ 2 }+6 }{ { 2x }^{ 5 }{ -2x }^{ 4 }{ +2x }^{ 3 }{ +2x }^{ 2 }-2x+2 } )(x-\frac { 2x-1 }{ x+1 } ) $$

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Ja, ist mir dann auch aufgefallen. Aufgabe ist durch "scharfes Hinsehen" dann wirklich recht einfach lösbar. Danke für den Hinweis.

Wenn man schon vorher in Linearfaktoren zerlegt und den rechten Faktor berechnet, braucht man kaum etwas zu rechnen und kann alles wegkürzen.

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Als nächstes müssen dann doch die inneren Klammern ebenfalls vereinfacht werden, indem diese wieder Gleichnamig gemacht werden oder?

// Wie einfaches hinsehen ?

// Gleichnamig machen Summe auflösen, dann Gleichnamig machen und mit der Substraktion verrechnen für die erste Klammer, dann für die zweite.. ??

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$$\quad \left( \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 3 }{ { x }^{ 3 }+1 } +\frac { 3 }{ { x }^{ 2 }-x+1 }  \right) \left( x-\frac { 2x-1 }{ x+1 }  \right) \\ \\ =\left( \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 3 }{ { (x }^{ 2 }-x+1)(x+1) } +\frac { 3 }{ { x }^{ 2 }-x+1 }  \right) \left( \frac { { x }^{ 2 }+x }{ x+1 } -\frac { 2x-1 }{ x+1 }  \right) \\ \\ =\left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ (x+1)({ x }^{ 2 }-x+1) } -\frac { 3 }{ { (x }^{ 2 }-x+1)(x+1) } +\frac { 3(x+1) }{ (x+1)({ x }^{ 2 }-x+1) }  \right) \left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ x+1 }  \right) \\ \\ =\left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1-3+3x+3 }{ (x+1)({ x }^{ 2 }-x+1) }  \right) \left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ x+1 }  \right) \\ \\ =\left( \frac { { x }^{ 2 }+2x+1 }{ (x+1)({ x }^{ 2 }-x+1) }  \right) \left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ x+1 }  \right) \\ \\ =\left( \frac { { (x+1) }^{ 2 } }{ (x+1)({ x }^{ 2 }-x+1) }  \right) \left( \frac { { x }^{ 2 }-x+1 }{ x+1 }  \right)  $$

Und damit kürzt sich alles weg und übrig bleibt 1

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Ahh, sehr gut. Mit meiner Ausmultipliziererei wäre ich morgen noch am rechnen gewesen, aber bis jetzt hat sich bei mit ein ähnliches Bild gezeigt. Soll heißen, selbst mit ausmultiplizieren komme ich auf 1 als Ergebnis. Nur beim Ausmultiplizieren können mehr Fehler entstehen.

Danke tiktok2, dieser Rechenweg gefällt mir.