Term vereinfachen, Lösung bekannt, jedoch keine Herleitung

Question

Ich habe einen Term gegeben, welcher vereinfacht werden soll, nur leider komme ich nicht mehr auf das richtige Ergebnis. Ich benötige Hilfe.

$$ \frac { { ({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 }) }^{ 2 }-{ ({ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }) }^{ 2 } }{ 4a{ b }^{ 2 }+4abc }  $$

als Ergebnis soll herauskommen:

$$ \frac { a(b-c) }{ b }  $$

Ich komme jedoch immer auf:

$$ \frac { 4{ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }-4{ a }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ 4a{ b }^{ 2 }+4abc }  $$

Comments

Wenn ich mir die beiden Klammern je als X und Y vorstelle und dann (X+Y) sowie (Y-X) rechne komme ich auf das richtige Ergebnis.

Jetzt stellt sich nur die Frage, warum darf man das machen ?

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X^2-Y^2 = (X+Y) * (X-Y)

Das ist die dritte binomische Formel. Damit lässt sich der Zähler faktorisieren. Im Nenner kannst Du ausklammern. Dann kannst Du im Zähler ein wenig zusammenfassen und zuletzt kürzen. Schleißlich steht nach insgesamt drei Schritten oder so das Ergebnis da.

Auch Dein Ergebnis kann noch weiter vereinfacht werden.

Answer 1

Schau zunächst mal den Zähler an

(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (a^2 - b^2 + c^2)^2

= (a^2 + (b^2 - c^2))^2 - (a^2 - (b^2 - c^2))^2

= (a^2)^2 + 2·(a^2)·(b^2 - c^2) + (b^2 - c^2)^2 - ((a^2)^2 - 2·(a^2)·(b^2 - c^2) + (b^2 - c^2)^2)

= (a^2)^2 + 2·(a^2)·(b^2 - c^2) + (b^2 - c^2)^2 - (a^2)^2 + 2·(a^2)·(b^2 - c^2) - (b^2 - c^2)^2

= 4·(a^2)·(b^2 - c^2)

Und nun den Nenner

4·a·b^2 + 4·a·b·c

= 4·a·b·(b + c)

Gesamt

4·(a^2)·(b^2 - c^2) / (4·a·b·(b + c))

= a·(b^2 - c^2) / (b·(b + c))

= a·(b + c)·(b - c) / (b·(b + c))

= a·(b - c) / b

Answer 2

Du kannst in den Klammer die 3. bin. Formel anwenden b² - c² in der einen Klammer und c² - b² in der anderen Klammer. Dann Quadrat der Klammern ausrechnen und ab da siehst du, dass Einiges wegfällt isnbesondere das unschöne a⁴.

Durch Ausklammern im Zähler und Nenner kürzt sich anschliessend alles weg bis zu deinem Ergebnis.

Comments

Hi, das kann man natürlich machen. Es scheint aber wesntlich einfacher zu sein, den Zähler sofort zu faktorisieren...