Herleitung Matrizenmultiplikation identische Gleichungen

Question

Hallo Freunde der Matrizenrechnung. Ich verzweifle ein wenig daran mit Umformungen zu zeigen, dass diese beiden Ausdrücke identisch sind:

∑ (nxn) * ω (nx1) *α^t (1xn) * ∑^-1 (nxn) * α (nx1)   =   ∑ (nxn) * ∑^-1 (nxn) * α (nx1)  * α^t (1xn) * ω (nx1)

wobei es sich bei den Klammerausdrücken um die Dimensionen handelt. t= transponiert, -1= invertiert.
Die nxn Matrizen sind zudem symmetrisch. Jemand eine Idee wie man darauf kommt?

Answer 1

Hi, ich denke die Gleichung stimmt nicht. Es soll ja bewiesen werden das gilt
$$ \Sigma \omega \alpha^t \Sigma^{-1} \alpha \omega=\Sigma \Sigma^{-1} \alpha \alpha^t\omega $$
Auf der linken Seite passen die Dimensionen nicht zu einander.
\( \Sigma \omega \alpha^t \Sigma^{-1} \alpha  \) ist eine Matrix der Dimension \( (n,1) \) und \( \omega \) ist auch ein Vektor der Dimension \( (n,1) \). Das passt nicht.

Comments

Hi Allerdings steht auf der linken Seite kein ω am Ende der Gleichung, sodass das von den Dimensionen her eigentlich passen sollte. Ich stelle nochmal die komplette Gleichung als neue Frage rein. Vielleicht habe ich zu wenig Informationen geliefert.

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Ok, wenn das \( \omega  \) da nicht hingehört sieht die Gleichung ja so aus
$$ \Sigma \omega \alpha^t \Sigma^{-1} \alpha=\Sigma \Sigma^{-1} \alpha \alpha^t \omega $$
Dann nehme mal \( \Sigma=I \) dann sieht die Gleichung wie folgt aus, $$ \omega \alpha^t \alpha=\alpha \alpha^t \omega $$
Nehme dann \( \alpha=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \) und \( \omega=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
dann ist  $$ \omega \alpha^t \alpha=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$ und $$ \alpha \alpha^t \omega=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Also ist die Gleichung nicht richtig.