Aufgabe:
Es sel \( n \in \mathbb{N} \) und \( \mathcal{B}=\left(v, w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n-1}\right) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} \), so dass \( \|v\|=1 \) und \( v \perp w_{i} \) für \( i=1, \ldots, n-1 \). Wir betrachten die wie folgt definierte lineare Abbildung \( P \)
\( P:\left\{\begin{array}{cl} \mathbb{R}^{n} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{n} \\ \lambda_{1} v+\lambda_{2} w_{1}+\ldots+\lambda_{n} w_{n-1} & \longmapsto & \lambda_{1} v \end{array}\right. \)
Außerdem sei \( \mathcal{A}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) \) die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^{n} \)
a) Geben Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(P) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \) an.
b) Geben Sie die Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \), d.h. die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung \( \Phi_{\mathcal{A}}^{-1} \circ \Phi_{\mathcal{B}} \), an und prüfen Sie nach, dass die erste Zeile von \( T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}}=\left(T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}\right)^{-1} \) gleich \( v^{T} \) ist.
c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( M_{\mathcal{A}}^{\mathcal{A}}(P) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{A} \) mit Hilfe von a), b) und des kommutativen Diagramms
\( \begin{array}{ccc} \mathbb{R}^{n} & \stackrel{M_{\mathcal{A}}^{A}(P)}{\longrightarrow} & \mathbb{R}^{n} \\ T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \downarrow & & \uparrow T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \\ \mathbb{R}^{n} & \stackrel{M_{\mathcal{B}}^{B}(P)}{\longrightarrow} & \mathbb{R}^{n} \end{array} \)
d) Leiten Sie mit Hilfe von c) für \( x \in \mathbb{R}^{n} \) die Formel \( P(x)=\langle x, v\rangle \cdot v \) her. Was ist \( P \) für eine Abbildung?
