Beweisen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist (direkt und indirekt)

Question

habe bei folgender Aufgabe n paar Schwierigkeiten, voran zu kommen.

"Beweisen Sie direkt und indirekt (durch Kontraposition oder Widerspruchsbeweis), dass das Produkt zweier ungerader Zahlen wieder ungerade ist."

Direkter Beweis:

(2x + 1)² = 2x² + 4x + 1

Aber wie zeige ich das jetzt mit dem Widerspruchsbeweis?

G

Comments

Hi, besser wäre  (2x + 1)·(2y + 1) = 4xy + 2x + 2y + 1.

Answer 1

Direkter Beweis. Seien m,n ∈ ℕ

(2n+1)(2m+1) = 4mn + 2n + 2m + 1 = 2(2mn + n + m) + 1

Indirekter Beweis: Seien m,n ungerade Zahlen.

Annahme n*m ist gerade

m*n = 2k     , wobei k ∈ ℕ. So haben m,n und k Primfaktorzerlegungen:

(a*b*....)*(p*q*.....) = 2*(u*v*w...)

Links kommt 2 nach Voraussetzung nicht vor, rechts aber schon. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, ist das der gesuchte Widerspruch dazu, dass n*m gerade ist. qed. fertig.

Anmerkung: Nun müsste einfach noch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl bereits bewiesen sein.

Comments

Reicht es nicht, 2m*2n = 2k zu schreiben?

G

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2m*2n = 2k 

heisst nur, dass das Produkt  zweier gerader Zahlen gerade ist.

Was ist aber, wenn du eine gerade mit einer ungeraden Zahl multiplizierst?

Und: Was reicht, entscheidet dein Lehrer / Übungsleiter.

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würde eigentlich auch ab

4nm + 2n +2m +1

sowas hier gehen?

4nm + 2(n+m)+1?

da ja 4 nm gerade

2(n+m) auch gerade

und das plus eins immer ungerade macht?

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Wenn schon bewiesen ist, dass die Summe zweier gerader Zahlen gerade ist, dann ja. ;-)

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eine aufgabe davor hatte man die summer zweier ungerade zahlen gezeigt das sie gerade werden^^

alles klar danke dir ;)

Answer 2

der direkte Beweis ist falsch, da du das Produkt der selben ungeraden Zahl verwendest und nicht zwei beliebiger.

Den indirekten Beweis kannst du schnell durchführen wenn du weißt, dass wenn eine Zahl m ein Produkt a*b teil, dass sie auch a oder b teilt. Demnach, wenn a*b gerade ist, dann teilt 2 a*b, aber dann müsste 2 auch a oder b teilen (widerspruch da beide ungerade).

Gruß

Comments

Okay. Ist es so richtig?

(2x+1)(2x+3)=0

x=4

4 eingesetzt ergibt -45.

Wenn ich den indirekten Beweis mit 5*4/2 mache, dann ist doch die 4 eine gerade Zahl, oder? Also zwei Zahlen eines Produkts, das eine gerade Zahl ergibt, sind doch nicht immer ungerade?

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Ich kann grad gar nicht nachvollziehen was du dir da zusammen gereimt hast....hat aber nix mit der Aufgabe zu tun. Lu hat dir doch eine schöne Lösung gegeben.

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Das habe ich ja auch vor Lus Lösung gechrieben ...

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Schön, dann hat sich das ja erledigt.