Funktionsuntersuchungen: f(x)= (x + 3) * e^{-x}

Question

Gegeben ist sie Funktion f mit f(x)= (x + 3) * e^-x

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung.

b) Untersuchen Sie, ob der Graph von f Hoch- oder Tiefpunkte besitzt und geben Sie diese gegebenenfalls an.

c) Skizzieren Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) sowie einer Wertetabellw den Graphen von f.

d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale an f im Punkt A(0/3).

Answer 1

Hi,

ich versuch mich mal

f(x)= (x + 3) * e^-x

a) Nullstellen

Hier kannst Du satz vom Nullprodukt anweden und Du weißt, dass die E-Funktionb selber nichemals Null wid. Also wird nur der Teil in der Klammer Null und das kann man ganz einfach nach x umstellen.

x+3=0

x=-3

N(-3|0)

b) Ableitungen

Produktregel:

f'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

Wähle:

u= (x+3)  u' = 1

v= e^-x v'= -e^-x

f'(x)= 1*e^-x+(x+3)*(-e^-x)

f''(x)= (x+3)*e^-x-2e^-x

Wende nochmals die Produktregel an, aber das schaffst Du jetzt alleine. Ich habe dir als Kontrolle die 2.Ableitung hingeschrieben.


Hoch und Tiefpunkte

1. Ableitung Null setzen und nach x auflösen!

1*e^-x+(x+3)*(-e^-x)

x= -2

in die 2. Ableitung einsetzen:

(-2+3)*e^-(-2)-2e^-(-2)=  -7,38905..

H(-2|e²)


Puuhh das war ja mal grad anstrengend. Ich hoffe das stimmt bis jetztr so.

So sieht der Graph aus:



Die d) kann ich leider nicht, da ich die E-Funktion und alles noch nicht in der Schule hatte. Vielleicht kann mir aber der Mathecoach einbisschen Unterstützung geben^^

Comments

Ich habe meine Antwort nochmal bearbeitet. Ich habe alles außer die d)

---

Kein Ding :)

---

Muss bei dem Hochpunkt nicht H(2/-e²) hin?

---

Nein wieso? 

-e² wäre ja im Minsbereich, aber der Hochpunkt ist im Positiven ... verstehst Du was ich meine? Schau dir den Graph an

---

Du meintest das bei der zweiten Ableitung -7.389...rauskommt und dann schreibst du H(-2/e²) aber e² sind 7.389..und nicht minus 7.389...:)

---

Ich weiß nicht was du meinst...

die notwendige Bedinung für ein Extrema ist ja

f'(x₀)=0 zu setzen und nach x aufzulösen. Das haben wir gemacht und haben x=-2

so jetzt kommt die hinreichende bedinung und da musst du f''(x₀)<0 Hochpunkt

also haben wir -2 in die zweite ableitung eingesetzt und haben geschaut, was da am Ende rauskommt und da kommt -7,38905.. und das ist eindeutig kleiner als 0, also haben wir ein Hochpunkt

Also weißt du schon deine x-Stelle -> x=-2

und du brauchst noch deine y-stelle also setzt du einfach -2 in die ausgangsfunktion ein und da kommt 7,389056099 und das kann man auch schreiben als e²

---

Ohhhhh klar .... -.- Hab mich ein wenig vertan aber ist alles gut kein Problem, danke :)

---

Haha ok gut :)