Mathematik - Funktionsuntersuchungen

Question

Aufgabe:

ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten.

Gegeben ist die Funktion f (x) = x^3 - 4x.

a) Stelle die Gleichung der Tangenten sowie der Normalen an den Graphen von f an der Stelle x = 1 auf.

b) In welchen Punkten ist die Tangente an den Graphen der Funktion f parallel zu der Geraden mit der Gleichung y = 0,5x - 4?

Vielen Dank.

Problem/Ansatz:

Wir sind aktuell mit einem neuen Thema eingestiegen - folglich bin ich dort vollkommen unerfahren. Ich weiß leider nicht, was ich hier machen muss.

Ich würde spekulieren, dass ich in b die Gleichungen gleich setzen muss?

Answer 1

Hallo,

$$f(x)=x^3-4x\\f'(x)=3x^2-4$$

Berechne zunächst die y-Koordinate des Punktes, P (1 | -3)

allgemeine Tangenten/Geradengleichung:

y = mx + b

m = Steigung (= 1. Ableitung), b = Schnittpunkt mit der y-Achse

Steigung an dem Punkt:

f'(1) = -1 ⇒

y = -x + b

Um b zu ermitteln, setzt du die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

\(-3=-1+b\\-2=b\)

Tangentengleichung: y = -x - 2

Die Steigung der normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung, also 1 (wäre die Tangentensteigung z.B. 2, wäre es -\( \frac{1}{2} \) )

b berechnest du wie bei der Tangentengleichung.

Gleichung Normale: y = x - 4

b) Geraden sind parallel zueinander, wenn ihre Steigung gleich ist.

Setzte also die 1. Ableitung = 0,5 und löse nach x auf.

Falls du noch Fragen hast, melde dich.

Gruß, Silvia

Comments

Okay, herzlichen Dank!

Könnten Sie - sofern es Ihnen passt - bitte nochmals die Steigung der Normalen erklären?

Inwiefern fließt der Kehrwert dort mit ein?

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Nehmen wir an, eine Gerade hat die Gleichung

y = 3x + b, dann lautet die der Normalen \(y = -\frac{1}{3}x + n\)

Hier hat die Tangente die Steigung -1, der negative Kehrwert ist dann 1.

oder aber \(m_n=-\frac{1}{m_t}\)

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Okay, verstanden.

Aber in meiner angegeben Übungsaufgabe - an welchem Wert orientiert man sich?

Nimmt man nun den Kehrwert der 4x - oder geht man auf die Tangentengleichung ein?

Immer wenn ich den Rechenweg ausprobiere, hapert es.

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Steigung = 1. Ableitung

Wir haben x = 1 in die 1. Ableitung eingesetzt und das Ergebnis ist -1

-1 ist also die Steigung der Tangente in diesem Punkt

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Ich habe mich jetzt eher auf die Gleichung der Normalen bezogen - gäbe es möglicherweise die Chance, dass sie - verkürzt - den Rechenweg aufschreiben?

Ich komme leider nicht wirklich weiter - immer wenn ich den Kehrwert ziehen möchte, geht die Funktion nicht auf.

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OK, die Steigung der Normalen ist \(m_n=-\frac{1}{m_t}=-\frac{1}{-1}=1\)

allgemeine Form:

y = mx + b

hier

y = 1x + b, also y = x + b

b bestimmen, indem du die Koordianten von P (1 | -3) in diese Gleichung einsetzt:

-3 = 1·1 + b

-4 = b

also lautet die Gleichung y = x - 4

jetzt klar?

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Vielen, vielen Dank - alles verständlich!

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Sehr schön, das freut mich.

Answer 2

Hallo

kannst du die Funktion differenzieren ? zur Kontrolle kannst du den "Rechenfreund" hier im Forum (rechter Rand) benutzen.

dann m_T= f'(1) ist die Steigung der Tangente bei  x=1y=f(1) die der Normalen dann m_n=-1/f'(1)

eine Gerade durch den Punkt (1,f(1)) kannst du dann sicher.

b. bestimme f'(x)=-0,5 dann ist die Steigung der Tangente ja gleich der der Geraden.

Gruß lul ,

Comments

Leider bringt mich das nicht weiter - die Steigung der Tangente bei x = 1 ist -1.

Was ist aber mit der normalen gemeint?

Muss ich dort 1 in die Ausgangsfunktion, heißt f (x) = x^3 - 4x einsetzen?

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Wäre es möglich, dass du mir die Rechnung einmal komplett aufschreibst - ich verstehe es bislang nämlich nicht.

Meist hapert es bereits an der Aufgabenstellung - was stellt die Gleichung der Normalen dar?

Danke.