Funktionsgleichung ermitteln 3. Grades

Question

Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zu dem Punkt P (0/3). Sie schneidet die xAchse bei x1 = - 4 und berührt sie im Punkt Q (2/0).

Answer 1

Eine Parabel 3. Ordnung

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

ist punktsymmetrisch zu dem Punkt P (0/3)

Mit anderen Worten, P ist der Wendepunkt (jede Parabel dritter Ordnung ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt). Also

(1)        f''(0) = 0

(2)        f(0) = 3

Sie schneidet die xAchse bei x1 = - 4

(3)        f(-4) = 0

und berührt sie im Punkt Q (2/0).

(4)        f(2) = 0

(5)        f'(2) = 0

Erstelle Gleichungen aus diesen Bedingungen und löse das entstandene Gleichungssystem.

Answer 2

Benutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(0) = 3
f''(0) = 0
f(-4)=0
f(2)=0
f'(2)=0

f(x) = 0,1875·x^3 - 2,25·x + 3

Answer 3

Aloha :)

Die Funktion hat eine einfache Nullstelle bei \(x=-4\), enthält also den Faktor \((x+4)\). Sie hat eine doppelte Nullstelle bei \(x=2\), enthält also den Faktor \((x-2)^2\). [Bei einer einfachen Nullstelle würde die x-Achse geschnitten, bei einer doppelten Nullstelle wird sie nur berührt.] Damit lautet unser Ansatz:$$f(x)=a(x+4)(x-2)^2$$Die Konstante \(a\) bekommen wir aus dem Punkt \((0|3)\), denn:$$3=f(0)=a\cdot4\cdot(-2)^2=16a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{16}$$Damit sind wir auch schon fertig:$$f(x)=\frac{3}{16}(x+4)(x-2)^2$$

~plot~ 3/16*(x+4)(x-2)^2; {0|3} ; {-4|0} ; {2|0} ; [[-5|5|-2|7]] ~plot~

Answer 4

Bedingung Punktsymmetrie f(x)=-1*f(-x)  mit Exponenten n=ungerade

f(x)=a3*x³+a1*x+ao  P1(0/3)  → f(0)=3=0+0+ao → ao=3

P2(2/0) und P3(-4/0)

1) f(-4)=0=a3*(-4)³+a1*(-4)+3  aus P3(-4/0)

2) f(2)=0=a3*2³+a1*2+3 aus P2(2/0)

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) mit den Unbekannten,a3 und a2 schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit.

1) -64*a3-4*a1=-3

2) 8*a3+2*a1=-3

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=3/16 und a1=-2,25

gesuchte Funktion y=f(x)=3/16*x³-2,25*x+3

~plot~3/16*x^3-2,25*x+3~plot~