Gleichung lösen mit Faktorzerlegung? √(5-x)=x-3

Question

Aufgabe:

Gleichung ölsen: √(5 - x) = x - 3

Ansatz:

Ich habe die Wurzel isoliert und das 2. Binom aufgelöst.

0 = x^{2} - 5x + 4

0 = (x - 1)·(x - 4)

Ich verstehe nicht, wie man von x^2 - 5x + 4 auf (x-1)·(x-4) kommt und warum die Lösungskanidaten dann -1 und -4 sind.

Ich habe mal etwas von Faktorenzerlegung gehört. Ist es, dass was hier angewendet wird?

Answer 1

√ ( 5 - x ) = x - 3  | ( )^2 quadrieren
( aber beachten : quadrieren ist keine Äquivalenzumformung
die Lösungen müssen nachher auf Scheinlösungen überprüft werden )
5 - x = ( x - 3)^2
5 - x = x^2 - 6x + 9
x^2 - 6x + x = -4
x^2 - 5x + 2.5^2 = -4 + 6.25
( x - 2.5 )^2 = 2.25
x - 2.5 = ± 1.5
x = 4
x = 1

Probe
x = 4
√ ( 5 - 4 ) = ( 4 - 3)
1 = 1  |  stimmt
x = 1
√ ( 5 - 1 ) = ( 1 - 3)
2 = -2 |  falsch

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung
2 = -2  | aus falsch kann durch quadrieren richtig werden
2^2 = (-2)^2  | richtig

Lösung = 4

Answer 2

ich verstehe nicht wie man von x²-5x+4 auf (x-1)*(x-4) kommt

Das macht man am einfachstem mit dem Satz von Vieta. Mehr dazu https://www.matheretter.de/wiki/vieta und https://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta#Beweis

x^2 - 5x + 4         

Beachte 4 = 4*1 oder 2*2=4 oder (-2)*(-2) oder (-1)*(-4). Nun muss noch (-4) + (-1) = -5.

Daher:

x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x-1)

Satz vom Nullprodukt : 

 (x - 4)(x-1) = 0

Lösungskandidaten x₁ = 4 und x₂= 1.