Leiten Sie folgende Funktionen ab f(x) = x^2 * e^{2x}

Question

Ich übe bisschen für die ableitungen, weil dies bald unser Thema ist für die Kurvendiskussion :)

$$ g(x)= x^2\cdot e{  }^{ 2x } $$
$$ f(x)= 2\sqrt { x } -cos(x)$$

Ich denke dies $$ g(x)= x^2\cdot e{  }^{ 2x } $$ kann man ganz einfach mit der Produktregel ableiten?

$$ g(x)= x^2\cdot e{  }^{ 2x } $$

$$ f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot u(x) $$
$$ u(x)= x^2 → u'(x)= 2x $$
$$ v(x)= e{  }^{ 2x }→ v'(x)= 2e{  }^{ 2x } $$
$$ 2x\cdot e{  }^{ 2x }+2e{  }^{ 2x }\cdot x^2 $$

kann man das noch vereinfachen??

Ah ich sehe gerade, dass ich auch noch die Kettenregel brauche, da e^2x ... :(

Kann das stimmen? Ich habe noch versucht auszuklammern....

Answer 1

Hi Emre,

das sieht so weit ganz gut aus...schön strukturiert und nachvollziehbar.

Kleine Anmerkungen:

Am Anfang definierst du f(x) und g(x), dann schreibst du die Produktregel allgemein mit f(x) auf aber wendest sie für g(x) an, das sieht ein wenig chaotisch aus.

Am Ende in der letzten Zeile solltest du noch ein "g'(x) = " vor die Ableitung setzen.

Zu den Fragen:

Produktregel? Ja genau hier benutzt man u.a. die Produktregel

Vereinfachen? Ja mit dem Ausklammern bist du auf dem richtigen weg.

Kettenregel? Du hast bei der Ableitung von v(x) die Kettenregel schon angewendet, denn für eine Funktion der Form

$$ h(x) = e^{\phi (x)} $$ ist die Ableitung 

$$ h'(x) = \phi '(x) \cdot e^{\phi (x)} $$ wobei der erste Faktor die innere und der zweite Faktor die äußere Ableitung ist.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

danke für deine Antwort. Ich hatte im Internet nach der Regel der Produktregel geschaut, weil ich sie aus dem Kopf nicht mehr wusste und da stand f'(x)=... und das habe ich dann einfach auch geschrieben ausversehen^^

Also ist das jetzt richtig? Jetzt noch ausklammern und das wird zu:


$$g'(x)= 2x\cdot e{ }^{ 2x }+2e{  }^{ 2x }\cdot x^2 $$
$$ g'(x)= e{  }^{ 2x }(2x +2x^2) $$

so oder?

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Jap, ;). Könntest natürlich noch das x ausklammern wenns dir besser gefällt (dann "sieht" man schneller die Nullstellen der Ableitung und damit die möglichen Extrema).

Ja das ist auch die meist verwendete Darstellung der Produktregel, also nicht schlimm, man kann die Lösung trotzdem gut nachvollziehen.

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Ok:) Ja stimmt kann man auch machen:)

Ok super :)

und nochmal Danke für deine Hilfe :)

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Kein Problem. Immer gerne :).