Leiten Sie die Funktionen mit Hilfe der Produktregel und der Quotientenregel nach x ab.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Ableitungen
Leiten Sie die Funktionen nach \( \mathrm{x} \) ab.

2) Produktregel:
a) \( f_{1}(x)=x^{5} \cdot \ln (x) \)
b) \( f_{2}(x)=3 x^{10} \cdot \cos (x) \)
Quotientenregel:
c) \( f_{3}(x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \)
d) \( f_{4}(x)=\frac{x^{2}+4}{x^{3}-x} \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Welche der 4 Aufgaben bereitet dir Schwierigkeiten?

Die Produkt- und Quotientenregel kann man abgekürzt so schreiben:

\( y=u \cdot v \)

\( y^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+v^{\prime} \cdot u \)

\( \begin{aligned} y & =\frac{u}{v} \\ y^{\prime} & =\frac{u^{\prime} \cdot v-v^{\prime} \cdot u}{v^{2}}\end{aligned} \)

Answer 1

\( f_{1}(x)=x^{5} \cdot \ln (x) \)

==>  \( f_{1}'(x)=5x^{4} \cdot \ln (x) + x^{5} \cdot \frac{1}{x}\)

\( f_{3}(x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \)

==> \( f_{3}'(x)=\frac{\sin(x)\cdot (-\sin (x)) - \cos (x)\cdot \cos(x) }{\sin^2 (x)}=\frac{-1}{\sin^2(x)} \)

Answer 2

Guckst du hier:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Text erkannt:

a) \( \quad 5 \cdot x^{4} \cdot \ln (x)+x^{5} \cdot \frac{1}{x}=x^{4} \cdot(\ln (x) \cdot 5+1) \)
b) \( 30 x^{9} \cdot \cos (x)-3 x^{10} \cdot \sin (x) \)
c) \( -\frac{\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}=-\frac{1}{\sin ^{2}(x)} \)
d)
\( \begin{array}{l} \frac{\left(x^{3}-x\right) \cdot 2 x-\left(x^{2}+4\right)\left(3 x^{2}-1\right)}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}=\frac{2 x^{4}-2 x^{2}-3 x^{4}+x^{2}-12 x^{2}+4}{\left(x^{3}-x\right)^{2}} \\ =\frac{-x^{4}-13 x^{2}+4}{\left(x^{3}-x\right)^{2}} \end{array} \)