Leiten Sie die Funktion f mit sin(x)/x (x ≠ 0) ab und bringen Sie das Ergebnis aud einen gemeinsamen Nenner.

Question

Aufgabe:

a) Leiten Sie die Funktion f mit sin(x)/x (x ≠ 0) ab. Bringen Sie das Ergebnis aud einen gemeinsamen Nenner.

b) Leiten Sie die Funktion f mit f(x) = x+1/x-1 (x ≠ 1) ab. Bringen Sie das Ergebnis auf einen gemeinsamen Nenner.

c) Beweisen Sie die so genannte Quontienregel. Für den Quatienten zweier differenzierbarer Funktion u und v gilt: (u/v)' u'v - uv' / v^2

Comments

Bei b) ist die Funktion falsch abgeschrieben worden.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}=\underbrace{\sin(x)}_{=u}\cdot \underbrace{x^{-1}}_{=v}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{\cos(x)}_{=u'}\cdot \underbrace{x^{-1}}_{=v}+\underbrace{\sin(x)}_{=u}\cdot \underbrace{\left(-x^{-2}\right)}_{=v'}=\frac{\cos(x)}{x}-\frac{\sin(x)}{x^2}=\frac{\cos(x)\cdot x-\sin(x)}{x^2}$$

$$f(x)=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}=1+2(x-1)^{-1}\quad\implies$$$$f'(x)=-2(x-1)^{-2}=-\frac{2}{(x-1)^2}$$

Ich vermute mal stark, dass ihr die Kettenregel noch nicht behandelt habt. Daher müssen wir beim Beweis der Quotientenregel ohne sie auskommen. Das kriegen wir aber hin:

$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}_{=u}\cdot \underbrace{g(x)}_{=v}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'}_{=u'}\cdot \underbrace{g(x)}_{=v}+\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}_{=u}\cdot \underbrace{g'(x)}_{=v'}$$Wir divideren die Gleichung durch \(g(x)\) und stellen sie nach der gesuchten Ableitung um:$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)\cdot g(x)}{g(x)\cdot g(x)}-\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}$$$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$

Comments

Du setzt voraus, dass der Quotient überhaupt differenzierbar ist. Insofern sind Deine Ausführungen unvollständig.

Gruß Mathhilf

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Warum sollte es das nicht im Definitionsbereich?

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"Ich wüsste nicht, warum Aussage X nicht gelten sollte", gilt in der Mathematik nicht als Beweis für die Aussage X.

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Mit der Festlegung des Definitionsbereiches ist die Sache hier doch erledigt.

Wo soll da noch ein Problem sein?

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Ich bin davon ausgegangen, dass das Thema Differenzierbarkeit bzw. Existenz durch die Aufgabenstellung abgegolten ist. Es war ja nicht Aufgabe, die Differenzierbarkeit zu untersuchen, sondern die Quotientenregel herzuleiten.

Ich denke, das Hauptproblem war hier, die Quotientenregel ohne die Verwendung der Kettenregel zu zeigen.

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ohne die Verwendung der Kettenregel

Die hast du aber bei b) benutzt.

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Hier stand Unsinn. Gelöscht.

Answer 2

b) f(x) = (x+1-2+2)/(x-1) = 1+ 2/(x-1) = 1+ (x-1)^-1

f'(x) = 0+ (-1)*(x-1)^-2 = -1/(x-1)^2

c) u*v = u*v^-1

mit Produktregel ableiten:

-> u'*v^-1-u*v^-2*v'= v^-2*(u'v-uv') = (u'v-uv')/v^2

Answer 3

Vorschlag zu Aufgabe a) ohne Kettenregel, stattdessen über inplizites Differenzieren: $$\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\sin(x)}{x}\quad\vert\quad\cdot x \\[12pt] x\cdot f(x) &= \sin(x)\quad\vert\quad\ \left(\dots\right)^\prime \\[12pt] f(x) + x\cdot f^\prime(x) &= \cos(x) \\[12pt] f^\prime(x) &= \dfrac{\cos(x)-f(x)}{x} \\[12pt] &= \dfrac{\cos(x)-\dfrac{\sin(x)}{x}}{x} \\[12pt] &= \dfrac{x\cdot \cos(x)-\sin(x)}{x^2}. \end{aligned}$$Analog dazu lassen sich b) und c) behandeln.