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n

∑                 k(k+1) = 1/3 *n(n+1)(n+2)

k=1

Tut mir leid das es so komisch aussieht. Es muss heißen Summe von k=1 bis n

Ich habe leider gar keine Ahnung

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Betrachte mal die im Induktionsschluss zu zeigende Aussage. Sie könnte z. B. so lauten:

$$ \sum _{k=1}^{n+1}{k\cdot\left(k+1\right)} = \frac { 1 }{ 3 } \cdot \left( n+1 \right)\cdot \left( n+2 \right)\cdot \left( n+3 \right)$$

Spalte den (n+1)-ten Summanden ab, verwende die Induktionsvoraussetzung, um die Summe loszuwerden, vereinfache alles und die Aussage ist gezeigt. Vergiss den Induktionsanfang nicht und schreibe alles ordentlich auf.
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zunächst einmal danke für deine Antwort. Leider verstehe ich sie nicht so ganz. Wie kommst du auf (n+3) ? und was meinst du mit (n+1) abspalten ?

Im Induktionsschluss kann angenommen werden, dass die Aussage für irgendein n ∈ℕ stimmt, und es muss nun gezeigt werden, dass sie dann auch für (n+1) gilt. Ich habe die Aussage für (n+1) aufgeschrieben. Dazu wird einfach jedes n in der Aussage für n durch (n+1) ersetzt und die so entstandene Aussage etwas vereinfacht. Versuch mal, das nachzuvollziehen.

In der Aussage für (n+1) kannst Du den letzten Summanden, also den für k=(n+1), einzeln schreiben und entsprechend die obere Grenze der Summe um 1 kleiner machen. Das meinte ich mit "abspalten".

kann es jetzt nachvollziehen...

Ist die Schreibweise so richtig ?

Induktionsanfang : n=(n+1)

n+1

         ∑    k⋅(k+1) =   1/3(n+1)(n+2)(n+3)

k=1


Induktionsvoraussetzung : (n+1)=-1m
und dann eben der Induktionsschluss der gegeben ist                               
 
Nein, der Induktionsanfang kann hier für n=0 oder, falls die Aussage für n=0 hier zuwenig sinnvoll ist, auch mit n=1 gemacht werden.

Die Induktionsvoraussetzung ist dann die Gültigkeit der Aussage in der Frage für irgendein n.

Im Induktionsschluss musst gezeigt werden, dass aus der Voraussetzung die Aussage für (n+1) folgt.

Zuletzt folgt aus all dem die Aussage für alle n.

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