Beweisen sie durch vollständige Induktion,dass für alle n element N gilt

Question

n

∑                 k(k+1) = 1/3 *n(n+1)(n+2)

k=1

Tut mir leid das es so komisch aussieht. Es muss heißen Summe von k=1 bis n

Ich habe leider gar keine Ahnung

Answer 1

Betrachte mal die im Induktionsschluss zu zeigende Aussage. Sie könnte z. B. so lauten:

$$ \sum _{k=1}^{n+1}{k\cdot\left(k+1\right)} = \frac { 1 }{ 3 } \cdot \left( n+1 \right)\cdot \left( n+2 \right)\cdot \left( n+3 \right)$$

Spalte den (n+1)-ten Summanden ab, verwende die Induktionsvoraussetzung, um die Summe loszuwerden, vereinfache alles und die Aussage ist gezeigt. Vergiss den Induktionsanfang nicht und schreibe alles ordentlich auf.

Comments

zunächst einmal danke für deine Antwort. Leider verstehe ich sie nicht so ganz. Wie kommst du auf (n+3) ? und was meinst du mit (n+1) abspalten ?

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Im Induktionsschluss kann angenommen werden, dass die Aussage für irgendein n ∈ℕ stimmt, und es muss nun gezeigt werden, dass sie dann auch für (n+1) gilt. Ich habe die Aussage für (n+1) aufgeschrieben. Dazu wird einfach jedes n in der Aussage für n durch (n+1) ersetzt und die so entstandene Aussage etwas vereinfacht. Versuch mal, das nachzuvollziehen.

In der Aussage für (n+1) kannst Du den letzten Summanden, also den für k=(n+1), einzeln schreiben und entsprechend die obere Grenze der Summe um 1 kleiner machen. Das meinte ich mit "abspalten".

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kann es jetzt nachvollziehen...

Ist die Schreibweise so richtig ?

Induktionsanfang : n=(n+1)

n+1

         ∑    k⋅(k+1) =   1/3⋅(n+1)⋅(n+2)⋅(n+3)

k=1


Induktionsvoraussetzung : (n+1)=-1m
und dann eben der Induktionsschluss der gegeben ist                               
 

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Nein, der Induktionsanfang kann hier für n=0 oder, falls die Aussage für n=0 hier zuwenig sinnvoll ist, auch mit n=1 gemacht werden.

Die Induktionsvoraussetzung ist dann die Gültigkeit der Aussage in der Frage für irgendein n.

Im Induktionsschluss musst gezeigt werden, dass aus der Voraussetzung die Aussage für (n+1) folgt.

Zuletzt folgt aus all dem die Aussage für alle n.