Dies lässt sich zu einer sog. Teleskopsumme umformen:$$\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}$$$$=\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=2}^{n+1}\frac1k=\left(1+\sum_{k+2}^n\frac1k\right)-\left(\sum_{k+2}^n\frac1k+\frac1{n+1}\right)$$$$=1-\frac1{n+1}.$$