Summe berechnen: Σ (2^{-n} - 3^{-n})^2 (von k=0 bis ∞)

Question

Wie berechnet man diese Summe?

$$\sum_{k=0}^{\infty} (2^{-n} - 3^{-n})^2$$

Answer 1

löse die Klammer mithilfe der binomischen Formel auf. Dann hast du 3 geometrische Reihen.

Answer 2

Bitte erst mal kontrollieren:

$$ \sum_{k=0}^{\infty} (2^{-n} - 3^{-n})^2 $$
$$ = \sum_{k=0}^{\infty} (2^{-2n} - 2*6^{-n} + 3^{-2n}) $$
$$ = \sum_{k=0}^{\infty} 4^{-n} - 2*\sum_{k=0}^{\infty} 6^{-n} + \sum_{k=0}^{\infty}  9^{-n} $$

Die drei Summen sind nun drei geometrische Reihen, die du einzeln mit der bekannten Formel ausrechnen kannst. Resultate einsetzen und zusammen verrechnen.

Answer 3

  Sollte kein Problem sein; das sind Georeihen.

     ( 1/4 )  ^  n  +  (  1/9  )  ^  n   -  2  (  1/6  )  ^ n

   

    Jede Reihe für sich absolut konvergent; du kannst sie also beliebig umordnen.

   Meine    Vermutung   bleibt im Raum stehen; frag deinen Prof.  Bezieht sich unbedingte Konvergenz nur auf Permutationen der Reihenglieder,  oder hat das für beliebige ===>  Ordinalzahlen zulässig wie w * 2 oder  w * 3 ?   Darfst du also mehrere Reihen  "  hintereinander "  hängen?