Basisumwandlung: theoretische Fragen

Question

1.)Wie viele Stellen braucht man um eine eine natürlich Zahl n in der
Basis q darzustellen?

Wie lang ist also insbesondere die Darstellung einer Zehnerpotenz 10^k,
k = 1; 2;....... in der q-adischen Darstellung?

2 ) eine Hexadezimalzahl n₁₆ mit m Stellen ist gegeben, wobei die führende
Stelle ungleich Null sei.

Wie viele Stellen hat die zugehörige Binärdarstellung
n2 mindestens und höchstens? Beweisen Sie ihre Aussage!

Answer 1

1) ich geh mal davon aus, dass eure Basis q ∈ ℕ\{1}?

Dann brauchst du für eine natürliche Zahl n

⌊log_q(n) ⌋ + 1 Stellen,

⌊a⌋ bezeichnet die Abrundung von a(also die größte ganze Zahl die kleiner gleich a ist)

Somit ergibt sich für die Zehnerpotenzen

⌊k*log_q(10) ⌋ + 1 Stellen

2) Jede Stelle einer Hexadezimalzahl kann durch maximal 4 Binärzahlstellen ausgedrückt werden,

wenn deine Hexadezimalzahl m Stellen hat und die führende Stelle ungleich 0 ist ergibt sich also, dass du für die m-1 Stellen zuvor 4*(m-1) Binärzifferen brauchst. Für die führende Stelle brauchst du mindestens 1 bis maximal 4 Binärziffern also kann sich eine m-stellige Hexadezimalzahl durch mindestens

4*m - 3 bis maximal 4*m Binärzifferen ausdrücken.

Gruß