Zwei theoretische Fragen zu unendlichen Folgen und Reihen

Question

Ich hätte hier zwei Fragen und hoffe, dass jemand eine Antwort darauf weiß!

1) Ich habe eine Frage zum Ungleichheitszeichen: Wenn ich z.B. herausfinden soll, dass ein Ausdruck kleiner als -2 ist, muss ich dann das Zeichen umkehren? Denn sonst kommt immer das falsche Ergebnis heraus, wenn ich es aber umdrehe dann stimmt es. Muss man das Ungleichheitszeichen also umdrehen, bei einer negativen Zahl?

2) Wenn ich das Supremum einer Folge, ich nehme an, dass es 1 ist herausfinden möchte, dann schreibe ich

a_n> 1-epsilon

Aber ich möchte gerne das Infimum bestimmen, was muss ich dann schreiben? +eps.? Ich nehme an, dass ich überprüfen will, ob mein Infimum 0 ist, schreibe ich dann

a_n< 0+epsilon

Answer 1

1) Ich habe eine Frage zum Ungleichheitszeichen: Wenn ich z.B. herausfinden soll, dass ein Ausdruck kleiner als -2 ist, muss ich dann das Zeichen umkehren? Denn sonst kommt immer das falsche Ergebnis heraus, wenn ich es aber umdrehe dann stimmt es. Muss man das Ungleichheitszeichen also umdrehen, bei einer negativen Zahl?

Wenn du mit der Ungleichung hantierst, musst du es manchmal rumdrehen.

z.B.            4   <   6    |  * ( -2 )

                 -8   >   -12 

aber nur bei negativem Faktor, also aus 

  -8   >   -12    | *2  wird

-16 >  -24   ( Zeichen bleibt ! )


Aber ich möchte gerne das Infimum bestimmen, was muss ich dann schreiben?

Inf ist die größte unt. Schranke.  Etwa inf = c, dann

Beim Nachweis geht man meist so vor:

1.  zeige c ist eine unt. Schr.

2.  nimm an, es gäbe eine größere, also   c + eps ≤  a_n für alle n aus IN

wird zum Widerspruch geführt.

und bei 0 entsprechend   also   eps  ≤ a_n    für alle n aus IN
wird zum Widerspruch geführt.

Comments

Jetzt habe ich das verstanden!

Aber ich habe nun diese Gleichung vor mir liegen: (5n+4):(11-2n)  und muss zeigen, dass hier die Zahl 29 das Maximum und -34 das Minimum ist. Da kommt bei mir aber nie das Richtige heraus und ich verstehe absolut nicht wieso. Sowohl beim ersten, als auch beim zweiten Wert.

Weißt Du was ich falsch mache?

Dankeschön, das würde mir weiterhelfen!!

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Rechne mal ein paar Werte aus.  Die ersten Folgenglieder sind positiv und

für n > 5 gibt es nur noch negative.

Das größte von den positiven ist also das Max.

Die negativen nähern sich mit großem n ( nimm mal 100 oder 500 oder 1000)

der Zahl   -2,5 an.

Diese vorher sind aber noch kleinere, etwa für n=6 ist a₆ = - 34

Und um zu zeigen, dass dies das Min ist, machst du den Ansatz 

(5n+4):(11-2n)   ≥  -34    und zeigst dies erst Mal durch Ausrechnen

für alle n aus {  1 ... 6 }.  und für n≥6  ist der Nenner negativ  und du formst um:


(5n+4):(11-2n)   ≥  -34 


5n+4   ≤  -34 *(11-2n)    Zeichen drehen wegen neg. Faktor

5n+4   ≤   - 374  +  68n  

378   ≤    63n    | : 63

   6    ≤   n      und das gilt offenbar für alle n ≥ 6.

Weil bei  a_{6  die}  - 34 vorkommt und alle anderen größer odergleich sind, ist -34 das Min.