Zeigen Sie, dass r und s ungerade sind für den Fall b^2 - 4·a·c = r^2/s^2 (Rationale Zahlen)

Question

Aufgabe - Rationale Zahlen:

Seien \( a, b \) und \( c \) ungerade ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass für

\( a x^{2}+b x+c=0 \)

keine Lösung \( x \in \mathbb{Q} \) existiert. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

(a) Angenommen es existiert eine Lösung \( x \in \mathbb{Q} \). Dann gibt es \( r, s \in \mathbb{Z} \) mit \( s \neq 0 \), vollständig gekürzt und

\( b^{2}-4 a c=\frac{r^{2}}{s^{2}} \)

Zeigen Sie, dass in diesem Fall \( r \) und \( s \) ungerade sind.

(b) Formen Sie die Gleichung aus (a) zu folgender Gleichung um

\( b^{2} s^{2}-r^{2}=4 a c s^{2} \)

und leiten Sie einen Widerspruch zur Annahme aus (a) her.

Answer 1

$$ b^2-4ac=\frac{r^2}{s^2} $$
Das Produkt 4ac ist immer gerade, daher ersetzen wir es durch g=2g', das für eine gerade Zahl steht.
ungerade Zahlen kann man so darstellen:
$$b=2b'+1 $$$$r=2r'+1 $$$$s=2s'+1 $$
und das eingesetzt in die obige Gleichung:

$$ (2b'+1)^2-g=\frac{(2r'+1)^2}{(2s'+1)^2} $$

$$ (4b'^2+4b'+1)-2g'=\frac{(4r'^2+4r'+1)}{(4s'^2+4s'+1)} $$
$$ (4b'^2+4b'-2g'+1)(4s'^2+4s'+1)={(4r'^2+4r'+1)} $$
Beim ausmultiplizieren der linken Seite entstehen mit einer Ausnahme Summanden, die durch 2 teilbar, also gerade sind. Lediglich der eine Summand "1" ist ungerade. Wir fassen alle geraden Summanden zu h=2h' zusammen :
$$ 2h'+1=4r'^2+4r'+1 $$
$$ 2h'+1=2 (2r'^2+2r')+1 $$
Auch die rechte Seite entspricht dem Darstellungsmuster einer ungeraden Zahl - daraus folgt, dass die Gleichung zu Beginn auch für alle ungeraden Zahlen gültig sein muss. Die Annahme, es gäbe keine Lösungen aus der Menge der rationonalen Zahlen ist ist also widerlegt und das Gegenteil richtig.

Comments

Ich kann da wirklich noch keinen Widerspruch entdecken. Insbesondere dein "Auch" im vorletzten Satz deutet nicht wirklich auf einen solchen hin.

Vielleicht sollte man folgendermaßen argumentieren :

1. Die Zeile b^2 - 4ac  = r^2/s^2  zeigt, dass  s = 1  sein muss.

2. b^2 - r^2  = 4ac  lässt sich schreiben als  (b+r)·(b-r) = 4ac . Weil b und r ungerade sind, sind beide Faktoren links gerade, allerdings ist keiner von ihnen durch 4 teilbar, weil ac ungerade ist.

3. aus  b+r = 2u₁   und  b-r = 2u₂  folgt durch Addition  2b = 2(u₁+u₂), also  b = u₁+u₂  was gerade ist und somit der Widerspruch.

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1. Die Zeile b² - 4ac  = r²/s²  zeigt, dass  s = 1  sein muss.

nö - wieso ?

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Weil links eine ganze Zahl steht und  r/s  als gekürzt vorausgesetzt wurde. Ein eventuelles negatives Vorzeichen schiebe man nach r.

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Wenn der Nachweis zu einer rationalen Zahl geführt werden soll, dann muss man diese zunächst mal in der Form $$ \frac zn $$ darstellen. Demontiert man diese Voraussetzung im ersten Beweisschritt, indem man den Nenner n=1 setzt, braucht man gar nicht weiterzumachen.

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Er wird nicht 1 gesetzt, sondern es ist klar, dass er 1 sein muss

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Insbesondere dein "Auch" im vorletzten Satz deutet nicht wirklich auf einen solchen hin.

$$ 2h'+1=2 (2r'^2+2r')+1 $$
zu Anfang habe ich festgelegt: ungerade Zahlen kann man so darstellen:
$$u=2u′+1$$
nicht erwähnt habe ich allerdings die Bedingung dass mit ganzen Zahlen gearbeitet werden soll - aber das ist ja wohl klar.
In dieses "Muster" der Darstellung ungerader Zahlen passen beide Seiten der letzten Gleichungszeile - also sind beide Seiten ungerade.
Es fehlt allerdings der Nachweis, dass $$h'=2r'^2+2r' $$,
was mir schlicht zu mühselig auszumultiplizieren war und wohl kaum zu einer Widersprüchlichkeit führen dürfte.

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Eigentlich können wir beide unsere bisherigen Beiträge in die Tonne kloppen.

Es muss ja gezeigt werden, dass die Determinante eine Quadratzahl aus einer rationalen Zahl ist - und das ist bisher nicht geschehen.

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Ab Deinem 2. Schritt hätte ich das anders formuliert:

$$ (b+r)·(b-r) = 4ac $$
$$ \frac{(b+r)}2·\frac{(b-r)}2 = \frac{4ac}{2 \cdot 2} $$
$$ (b+r)·(b-r) = ac $$
ich schreibe mal u für ungerade und g für gerade
$$ (u+u)·(u-u) = u \cdot u $$
$$ g·g = u  $$
$$ g = u  $$
da die linke Seite der Gleichung gerade und die rechte ungerade ist, kann sie niemals erfüllt sein. Die Annahme aus dem Beginn der Aufgabenstellung ist also zutreffend - es existiert keine Lösung aus der Menge der rationalen Zahlen für ungerade Parameter der allg. quad. Gleichung.

(Womit ich nun das Gegenteil für meinen ersten Beweis erbracht habe)
Lustig, nicht ?

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Ab Deinem 2. Schritt hätte ich das anders formuliert: 

Du vielleicht, ich aber nicht, weil ich die 4 beim Übergang von der zweiten zur dritten Zeile nicht einfach weggelassen hätte.

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Noch eine Variante:
r teilerfremd mit s
$$ b^2-4ac=\left(\frac rs \right)^2$$
$$ b^2=\left(\frac rs \right)^2 +4ac$$
$$ b^2s^2=r^2 +4acs^2$$
$$ b^2s^2=r^2 +4acs^2+(2acs^2)^2 -(2acs^2)^2$$
$$ b^2s^2=(r+2acs^2)^2 -(2acs^2)^2$$
$$ b^2s^2+(2acs^2)^2=(r+2acs^2)^2 $$
Wenn b und s ungerade, dann vereinfacht
$$ [U]+(2acs^2)^2=(r+2acs^2)^2 $$
Wenn zusätzlich a und c gerade, dann weiter vereinfacht
$$ [U]+(2[U])^2=(r+2[U])^2 $$
ungerade mal 2 ist gerade
$$ [U]+([G])^2=(r+[G])^2 $$
Das Quadrat einer geraden Zahl ergibt eine gerade Zahl
$$ [U]+[G]=(r+[G])^2 $$
Wenn r ungerade
$$ [U]+[G]=([U]+[G])^2 $$
die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade
$$ [U]=([U])^2 $$
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade
$$ [U]=[U] $$
Es ist also nicht ausgeschlossen, dass die Determinante eine Quadratzahl aus einer Rationalen Zahl werden kann, wenn die Parameter a,b,c; alle ungerade sind.

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Und schonwieder eine weitere eine Variante:
r teilerfremd mit s
$$ b^2-4ac=\left(\frac rs \right)^2$$
$$ b^2=\left(\frac rs \right)^2 +4ac$$
$$ b^2s^2=r^2 +4acs^2$$
$$ b^2s^2=r^2 +\left(2s\sqrt{ac}\right)^2$$
Parallelbetrachtung: Erzeugung pythagoreischer Tripel:
$$z^2 = x^2+y^2$$
$$    x = u^2-v^2\,\,\,;\,\,\, y = 2uv \,\,\,;\,\,\, z = u^2+v^2 \,\,\,;\,\,\, u,v \in \mathbb{N}^+ $$
$$ \left(u^2+v^2\right)^2=\left(u^2-v^2\right)^2 +\left( 2uv\right)^2$$
Umsetzung in unseren Ansatz mit $$ s=u$$
$$ b^2u^2=r^2 +\left(2u\sqrt{ac}\right)^2$$
$$v=\sqrt{ac}$$
$$ b^2u^2=r^2 +\left(2uv\right)^2$$
Daraus folgt: $$r^2 = s^2-ac$$
$$ b^2u^2= \left(u^2+v^2\right)^2$$
$$ b^2s^2= \left(s^2+ac\right)^2$$
$$ b^2= \frac{\left(s^2+ac\right)^2}{s^2}$$
$$ b= \frac{s^2+ac}{s}$$
$$ b= s+\frac{ac}{s}$$
b ist die Summe aus einer ungeraden Zahl und einem Produkt aus ungeraden Zahlen, das wiederum eine ungerade Zahl ergibt. Die Addition beider ungerader Summanden ergibt eine gerade Zahl, also muss b gerade sein, was aber der Voraussetzung (b sei ungerade) widerspricht.
Mit ungeraden Parametern (a;b;c) kann keine Lösung erzeugt werden, die aus dem Raum der rationalen Zahlen entstammt.

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Könntest du bitte kurz drauf eingehen warum der Nenner 2 bei (b+r) und (b-r) wegfällt? Stehe gerade extrem auf dem Schlauch. Die rechte Seite ist klar 4ac/2*2 kürzt man runter auf ac, aber die linke Seite wird mir nicht ganz klar.

Bezogen auf deinen Kommentar, wo du den 2. Schritt eines anderen Posters abänderst

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Hat sich erledigt, bin selbst draufgekommen. Im Nachhinein kommt mir die Frage schon fast doof vor :D

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Kannst du diese einfache Lösung vielleicht auch mit uns teilen?

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Nachdem ich bereits vier Beweise mit je 2 "Hin - und Widersprüchen" produziert habe, möchte ich jetzt aber wirklich wissen, wie man das "wasserdicht" bekommt. Also stelle ich mal sämtliche Parameter aus der Aufgabenstellung ohne Ausnahme als ungerade ganze Zahlen dar - die angestrichten Parameter sind aus der Menge der ganzen Zahlen:
$$(2b'+1)^2-4(2a'+1)(2c'+1)=\frac{(2r'+1)^2}{(2s'+1)^2}$$
$$(4b'^2+4b'+1)-4(4a'c'+2a'+2c'+1)=\frac{(4r'^2+4r'+1)}{(4s'^2+4s'+1)}$$
$$(4b'^2+4b'+1)-8a'c'-8a'-8c'-4=\frac{(4r'^2+4r'+1)}{(4s'^2+4s'+1)}$$
$$4b'^2+4b'-8a'c'-8a'-8c'-3=\frac{(4r'^2+4r'+1)}{(4s'^2+4s'+1)}$$
$$2(2b'^2+2b'-4a'c'-4a'-4c')-3=\frac{2(2r'^2+2r')+1}{2(2s'^2+2s')+1}$$
Substituiere :
$$(2b'^2+2b'-4a'c'-4a'-4c')=k$$$$(2r'^2+2r')=l$$$$(2s'^2+2s')=m$$
$$2k-3=\frac{2l+1}{2m+1}$$
$$(2k-3)(2m+1)=2l+1$$
$$2m(2k-3)+(2k-3)=2l+1$$
$$4km-6m+2k-3=2l+1$$
Substituiere:
$$4km-6m+2k=2n$$
$$2n-3=2l+1$$
$$2n-3+4=2l+1+4$$
$$2n+1=2(l+2)+1$$
Beide Seiten der Gleichung entsprechen nun der Form einer ungeraden ganzen Zahl!
Jetzt bitte ich mal um intensive Prüfung und vielleicht kann mir jemand erklären, weshalb es so leicht ist, das Gegenteil von dem zu beweisen, was eigentlich bewiesen werden sollte ...

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Was hast Du gegen meine wasserdichte Lösung. Auf Deine Fragen habe ich geantwortet aber keine Antwort erhalten.

Answer 2

Die Gleichung \( ax^2+bx+c=0 \) hat die Lösungen
$$ x=\frac{ -b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$
Ist \( x\in \mathbb{Q}\) dann gilt \( x=\frac{p}{q} \) mit \( p,q \in \mathbb{Z} \) und p,q teilerfremd.

Daraus folgt \( b^2-4ac=\frac{\left( 2ap+bq \right)^2}{q^2}=k^2 \) mit \( k\in \mathbb{N} \)
\( b^2-4ac \) besitzt die Darstellung \( 8n-3 \) weil \( a, b \) und \( c \) ungerade sind.

Weil \( b^2-4ac \) ungerade ist, muss  auch \( k \) ungerade sein und \( k^2 \)sollte also ebenfalls eine Darstellung der Form \( 8n-3 \) besitzten.

Weil \( k \) aber ungerade ist, hat \( k^2 \) folgende Dartellung \( k^2=8n+1 \) im Widerspruch dazu, dass \( k \) eine Darstellung der Form \( 8n-3 \) besitzen sollte.

Somit existieren keine rationalen Lösungen der quadratischen Gleichung mit ganzzahligen und ungeraden Koeffizienten.

Comments

Wie kommst du auf die Darstelllungen 8n-3 bzw. 8n+1?

Es fehlt die nachvollziehbare Herleitung. 

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Setzte für jede ungerade Zahl die Darstellung \( 2n+1 \) ein. Dann folgt das Ergebnis.

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$$ b^2-4ac=k^2 $$
Ersetzen von allen Parametern durch 2n+1
$$ (2n+1)^2-4(2n+1)(2n+1)=(2n+1)^2 $$
beweist lediglich, dass bei gleichlautenden ungeraden Parametern die Gleichung nicht gilt, ist aber in keiner Weise geeignet, auf beliebige ungerade Zahlen Schlüsse zu ziehen.

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Als erstes mus nicht das gleiche \( n \) für jede ungerade Zahl nehmen, sondern verschieden, also \( (2n_1+1)^2-4(2n_2+1)(2n_3+1)=(2n_4+1)^2 \) und jetzt z.B die rechte Seite.

\( (2n_4+1)^2=4n_4^4+4n_4+1=8\frac{n_4(n_4+1)}{2}+1=1 \text{ mod } 8 \)

Die linke Seite geht genauso

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Bei der linken Seite kommt

$$ 8 \left[  \frac{n_1(n_1+1)}{2}-2n_2n_3-(n_2+n_3) \right]-3 = 5 \text{ mod } 8 $$ heraus, aslo wie behauptet. Ist es jetzt klarer?

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Du hast einen Tippfehler gemacht - daher wollt ich es nachrechnen, was ich oben gemacht habe.

Scheinbar sind meine Substitutionen nicht zulässig - keine Ahnung warum. ich mach das morgen nochmal ohne vielleicht passt es dann.

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Wo war mein Tippfehler?

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bei der linken summe schreibst  5 mod 8

das hat mich verwirrt - ist das nicht  3 mod 8 ?

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Nein, \( 8k-3=8(k-1)+5 \)

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Ahhhja!

muss man aber draufkommen ...

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OK, alles klar                                

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Welche version ist jetzt richtig?

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Von welchen Versionen redest Du. Ich habe nur eine Version gepostet und noch ein paar Erklärungen dazu. Ich gehe davon aus, dass bei mir alles ok ist. Die anderen Lösungsversuche habe ich mir nicht angeschaut.