Gegeben ist die reelle Funktion mit der Gleichung f(x) = 1+ e^{-2x}

Question

Hi,

wie gehe ich denn an solche Bsp heran ??

LG

Gegeben ist eine reelle Funktion f(x) = 1+ e ^-2x

a.)  wie lautet der wertebereich von f

b.) skizzieren sie die funktion

c.) Besitzt f eine Umkehrfunktion?

Wenn ja, wie lautet sie ,wie ihr Definitions- und Wertebereich

Answer 1

Es vereinfachst die Sache ungemein sich eine kleine
Skizze zu e-Funktion aufzuzeichnen oder diese in einem
Mathebuch zu suchen.

wie gehe ich denn an solche Bsp heran ??
LG
Gegeben ist eine reelle Funktion f(x) = 1+ e ^-2x

a.)  wie lautet der wertebereich von f 
Zunächst einmal der Def-Bereich. Es gibt keine
Einschränkungen:
D = ℝ = ] ∞; -∞ [
Der Wertebereich der e-Funktion liegt zwischen
W = ] 0 ; ∞ [
In der Funktion soll noch 1 addiert werden. Also
W = ] 1 ; ∞ [

b.) skizzieren sie die funktion
Hatte ich als erstes schon vorgeschlagen.

c.) Besitzt f eine Umkehrfunktion?
Die Funktion f ( x ) ist monoton steigend.
Sie besitzt eine Umkehrfunktion.

Wenn ja, wie lautet sie ,wie ihr Definitions und Wertebereich

f ( x ) = y = 1 + e^{-2x}
Umkehrfunktion
( ich vertausche im 1.Schritt immer x und y direkt )
x = 1 + e^{-2y}
e^{-2y} = x - 1  | ln ()
-2y = ln ( x - 1 )
y = - ln ( x -1 ) / 2 = f ^-1 ( x )
Der Def-Bereich der Funktion ist gleich dem Wertebereich
der Umkehrfunktion.
Der Wertebereich der Funktion ist gleich dem Def-Bereich
der Umkehrfunktion.
D f =  ℝ = ] ∞; -∞ [  = W f ^-1
W f =  ] 1 ; ∞ [  = D f ^-1

Comments

vielen Dank!ich werde mir eine  skizze im internet suchen damit ich alles nachvollziehen kann!!Dankesehr

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dieser letze teil ging sehr schnell

y = - ln ( x -1 ) / 2 = f ^-1 ( x ) 

was bedeutet das Fettgedruckte....?bzw. wie kommst da drauf 

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Hallo lianne,

hier oben rechts auf dieser Seite ist eine Schaltfläche
" Funktionsplotter "
Im Eingabfeld kannst du e^x  eingeben.
Dann wird dir die Funktion gezeichnet.

-2y = ln ( x - 1 )
y = - ln ( x -1 ) / 2
f ^-1 ( x ) = - ln ( x -1 ) / 2

f ( x ) ist die Funktion.
Mit f^{ -1} ( x ) wird die Umkehrfunktion meist bezeichnet.

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Hallo

Ds ist also meine Funktion woher weiss ich , dass ich bei der y achse 2 schritte nach oben gehe und dann nach links 

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Hallo lianne,

ich kann deiner Skizze nicht zustimmen.

Die Funktion über die wir reden ist doch

f(x) = 1+ e ^-2x

Wenn du die Funktion per Hand zeichnen sollst ist
die Wertetabelle
( x   | f ( x ) )
( -1  | 8.99 )
(  0  | 2.0 )
( 1  | 1.13 )
( 2  | 1.02 )
( 4  | 1.0003 )
( 8  | 1.000... )

Die Umkehrfunktion lautet

f ^-1 ( x ) = - ln ( x -1 ) / 2

Bei der Wertetabelle werden x und y vertauscht

( x   | f ( x ) )
( 8.99  | -1 )
(  2.0 |  0)
( 1.13 | 1 )
( 1.02 | 2)
( 1.0003 | 4 )
( 1.000... |  8 )

Als Graph ergibt sich

Das grüne ist die Winkelhalbierende des 1.Quadranten.
Daran wird blau zu rot gespiegelt.

Answer 2

So wie bei jeder Kurvendiskussion vorzugehen ist.

Spickzettel dazu:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#.C3.9Cbersicht_.C3.BCber_Kriterien

Diese Funktion hat keine Extrema - also gibt der lim für + und - Unendlich Aufschluss über den Wertebereich.

Nach vollständiger Kurvendiskussion ist soviel über die Funktion bekannt, dass man sie (eigentlich ohne GTR oder PC) skizizieren können sollte. So war das zumindest früher, als man noch mit Rechenschieber in die Schule ging.

Umkehrfunktion:
$$ v = 1+ e ^{-2u} $$
auflösen nach u
$$ v-1 =  e ^{-2u} $$
$$ \ln(v-1) = {-2u} $$
$$ - \frac 12\ln(v-1) = u $$
$$ - \ln(\sqrt{v-1}) = u $$
$$u(v)= \ln \left(\frac{1}{\sqrt{v-1}}\right)  $$
hier muss man sich dann schon fest die Ohren zuhalten, um die Schreie nach den Einschränkungen des Definitionsbereiches zu überhören.

Comments

vielen dank muss mir das nochmals genauer anschauen wie ich das skizzieren soll