lim x gegen unendlich (cos (1/x))^x

Question

es geht um folgenden Grenzwert:

lim_x→∞ (cos (1/x))^x

Da würde ja jetzt grundsätzlich dann 1 hoch ∞ stehen, was ein unbestimmter Ausdruck ist. Wie (oder überhaupt?) kann ich hierbei l'Hospital anwenden bzw. macht dies da Sinn?

Comments

Hi,

ich würde das umschreiben zu $$ e{  }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x }) }$$ also a=e^ln(a)

Wäre also meine Idee

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Der Ansatz ist richtig. Willst du auch weitermachen?

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Juhhu :)

ja ich mach grad weiter :)

aber ich hab ein Problem. Wie forme ich das in ein Bruch um?

$$ \lim_{x\to∞}e{  }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x })) } $$

ist das so richtig als Bruch? $$ \lim_{x\to∞}e{  }^{\frac { ln(cos(\frac { 1 }{ x } }{ \frac { 1 }{ x } } } $$

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Ja das sieht richtig aus. Schließe aber auch die Klammern wieder.

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Ok gut, aber ich komme leider nicht mehr weiter (siehe bei meiner Antwort)

also beim ableiten...keine ahnung wie ich ln(cos(1/x)) ableiten soll...klar kettenegel aber...

Answer 1

Hi,

ich versuch mich einfach mal. Aber nur zur info: Ich hatte die Grenzwertberechnung noch nicht in der Schule und deshalb Angaben ohne Gewähr :)

$$ \lim_{x\to∞}cos(\frac { 1 }{ x })^x $$
$$ \lim_{x\to∞}e{  }^{ x(ln(cos\frac { 1 }{ x })) } $$
$$ \lim_{x\to∞}e{  }^{\frac { ln(cos(\frac { 1 }{ x } }{ \frac { 1 }{ x } } } $$

Zähler und Nenner gehen beide gegen 0 also ist l'hospital anwendbar!

Jetzt musst Du die Ableitungen bilden vom Zähler und Nenner, aber einzel ableiten!

Das schaff ich hier glaube ich nicht... kommst Du nun alleine weiter?

Comments

Hier kann man einen Trick machen.

Wenn 1/x gegen unendlich geht dann kann man auch x gegen 0 gehen lassen.

Also ersetze 1/x durch x und ersetze unendlich durch 0.

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Langsam ..ich komm nicht mit. Ich muss doch jetzt Zähler und Nenner getrennt ableiten?

Nenner abzuleiten ist ja nicht schwer, aber den Zähler....

und lim_x->∞ 1/x geht doch gegen 0? und nicht gegen Unendlich?

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Schau dir das bei meiner Lösung an. Plötzlich schreibe ich da nicht mehr als Grenzwert unendlich sondern 0. Warum mache ich das?

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Ja das hab ich mich auch gefragt als ich mir deine Lösung angeschaut habe. Ich überlege mal...

Answer 2

lim (n → ∞) COS(1/n)^n

lim (n → ∞) EXP(LN(COS(1/n)^n))

Wir betrachten den Grenzwert des Exponenten

lim (n → ∞) LN(COS(1/n)^n)

lim (n → ∞) n·LN(COS(1/n))

lim (n → 0) 1/n·LN(COS(n))

lim (n → 0) LN(COS(n)) / n

L'Hospital

lim (n → 0) - TAN(n) / 1 = 0

Nun betrachten wir wieder den ganzen Aussdruck

lim (n → ∞) EXP(LN(COS(1/n)^n)) = EXP(0) = 1

Comments

Meine Antwort sieht neben deiner richtig falsch aus^^ (aber bin ja nicht fertig. Ich komme leider nur soweit).

Stimmt es aber bei mir bis dort hin?

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Warum betrachtest du denn beim vierten Schritt den lim (n → 0) und nicht mehr lim (n→ ∞).
Also mir ist zwar klar, auf was du kommen willst, aber nicht, wie ich das so einfach verändern darf?

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lim (n → ∞) 1/n

= lim (n → 0) n

Wenn ich den Kehrwert meiner Variablen nehme kann ich den Grenzwert gegen 0 laufen lassen. Das macht das Ganze etwas übersichtlicher.

Answer 3

lim_x→∞ (cos (1/x))^x

Da würde ja jetzt grundsätzlich dann 1 hoch ∞ stehen, was ein
unbestimmter Ausdruck ist.

1/∞ = 0
cos(0) = 1

1^1 = 1
1^2 = 1
1^3 = 1
es ist zu vermuten das
1^{∞} auch 1  ist

Die 1 unendlich mal mit sich selbst malgenommen ergibt 1.

Comments

Der Grenzwert 1 stimmt zwar, aber die Begründung nicht.
Mit derselben Begründung könnte man ja auch sagen: \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1\), obwohl dieser Grenzwert bekanntlich \(e\) ist.

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Allerdings kann \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=\mathrm e^x\) jeden positiven Wert annehmen. Das ginge auch mit \(\left(\sqrt[n]x\right)^n=x\) für \(x>0\), womit man auch schnell zu \(\left(\sqrt[n]2\right)^{n^2}=\infty\) und \(\left(\frac1{\sqrt[n]2}\right)^{n^2}=0\) kommt.