Ortskurve von allen Wendepunkten der Kurvenschar: f_g (x)= g x^4 - 4x^2 g^2 , g> 0

Question

f g (x)= g x^4 - 4x^2 g^2 , g> 0

fg'(x) = 4gx^3 - 8x^2 g^2

f''(x) = 12gx^2 -8g^2

f'''(x)=24x

fg ''(x)=0=>  4gx^3 - 8x^2 g^2=0

<=> g (12x^2-8g)

x1=0 x2= ±√2t/3

f'''g (√2t/3)=/= 0 ungleich Null

f'''g (-√2t/3)=/= 0 ungleich Null

f g (√2t/3)= g (√2t/3)^4 - 4(√2t/3)^2 g^2

f g (√2t/3)= g (4 √2t/3) - 4(√2t/3 g^2

So nun komme ich nicht weiter , vielleicht

f g ((√2t/3) = t^3 ???

Answer 1

1.) In deiner Berechung in der Frage sind jede Menge
Fehler. Ist aber jetzt egal.

2.)
Der Mathcoache hat berechnet mit

f''(x) = 12·g·x² - 8·g² = 0

g = 3/2·x^2

Vielleicht ist es zum Nachvollziehen besser
die Gleichung nach x aufzulösen, denn
du willst ja die x und y Koordinaten der Wendepunkte
haben.
( dies ist jetzt langwieriger zu berechnen )
12·g·x² - 8·g² = 0
g * (12·x² - 8·g ) = 0
g = 0 ; diese Lösung wird ausgeschlossen da g > 0 sein soll
12x^2 - 8 * g = 0
12x^2 = 8g
x^2 = (2/3)*g
x = ± √ ( 2/3 * g )
Dies sind die x-Koordinaten der Wendepunkte.
Die y-Koordinaten sind die Funktionswerte
f ( x ) = g * x⁴ - 4 * x² * g²
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = g * (± √ ( 2/3 * g ) )⁴ - 4 * (± √ ( 2/3 * g ))² * g²
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = g * ( 2/3 * g  )² - 4 * ( 2/3 * g ) * g²
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = g * ( 4/9 * g² - 4 * 2/3 * g * g²
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = 4/9 * g^3 - 8/3 * g³
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = 4/9 * g^3 - 24/9 * g³
f ( ± √ ( 2/3 * g )  ) = -20/9 * g^3

W ( ± √ ( 2/3 * g )  | -20/9 * g^3 )
x  = ± √ ( 2/3 * g )
y = -20/9 * g^3

aus 1.) wird x^2 *3/2 = g
in 2.) eingesetzt
ort = -20/9 * ( x^2 *3/2 )^3
ort = -20/9 * 27 * x^6 / 8
ort ( x ) =  -7.5 x^6

Comments

Vielen Dank so ist es viel verständlich Herr Born, ich wünsche Ihnen einen schönen Abend.

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Vorbemerkung : hier im Forum wird meist das " du " verwendet.

Es freut mich dir weitergeholfen zu haben.

Answer 2

f(x) = g·x^4 - 4·x^2·g^2

f'(x) = 4·g·x^3 - 8·g^2·x

f''(x) = 12·g·x^2 - 8·g^2 = 0

g = 3/2·x^2

Das jetzt in die Funktion einsetzen

f(x) = (3/2·x^2)·x^4 - 4·x^2·(3/2·x^2)^2 = - 15/2·x^6

Das ist dann die Ortskurve aller Wendepunkte.

Comments

Hey danke für den Rechenweg, die auflösung musste ich nachrechnen da ich sie nachvollziehen , stimmt sie so?

12 g x^2 -8 g^2 =0

g (12 x^2 - 8g )=0

8g=12x^2

g = 12 x^2/8

g=3 x^2 /8 ??

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Ja das stimmt so. g = 0 wäre zwar auch eine Lösung aber du weißt sicher warum ich die nicht näher untersuche.

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Klar ,

Ich habe das mal nun ausgerechnet , so richtig fit bin ich darin nicht also

f (x)=3/2 x^6 - 6x^4 ??

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Ich habe doch oben eine Lösung hingeschrieben auf die du kommen solltest.

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g (12 x² - 8g )=0

-8g=12x²

g = 12 x²/-8

g=12 x² /-8 ??

Das Vorzeichen (-) , blieb bei deiner Rechnung nicht mehr weil ich bekomm was anderes raus...

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12·g·x² - 8·g² = 0

g·(12·x² - 8·g) = 0

12·x² - 8·g = 0

Und das jetzt bitte auflösen.