Kurvenschar mit f_(a)(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)^{2} ;x∈ℝ ; a∈ℝ. Ortskurve aller Wendepunkte usw.?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)² ;x∈ℝ ; a∈ℝ. Die Graphen sind K_a

Untersuchen Sie durch schriftliche Rechnung die Kurvenschar K_a auf Schnittpunkte mit der x- und y- Achse sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

Geben Sie die Ortskurve aller Wendepunkte an.

Die Dreiecke PLW sind wie folgt festgelegt:

-   P ist ein Punkt auf K_-2 mit (5/3) ≤ x ≤ 5

-   L ist der Fußpunkt des Lotes von P auf die x- Achse

-   W ist der Wendepunkt von K_-2

Ermitteln Sie, für welchen Wert von x der Inhalt des Dreiecks ein absolutes Maximum annimmt und geben Sie diesen größten Flächeninhalt an.

Die Funktionen g_a sind definiert mit y = g_a (x) = c/f_a (x) ; c = konstant

Ermitteln Sie den Definitionsbereich von g_a .

Weisen Sie nach, dass die Funktion g_-2 für x≠0 genau einen lokalen Extrempunkt besitzt.

Für welches c (c ∈ ℝ) gilt: Der Tiefpunkt von g_-2 ist T ((10/3)  /1

((?/?) sind die Brüche:))

Problem/Ansatz:

Schnittpunkt mit y -Achse

f(0)= -0,1 (0-3+a)(0+2+a)²

y= (-(a+2)² (a-3) /10)

Comments

y= (-(a+2)^2 (a-3) /10)

Dieses Ergebnis ist schon mal richtig.

Answer 1

f "(x)=-1/5(3x+a+1)

Wendepunkte für a=-3x-1

Dies in Ausgangsgleichung eingesetzt und umgeformt:

w(x)=1/5(1+2x)³ Gleichung der Orstkurve aller Wendepunkte.  

Comments

Danke schonmal für die Antwort aber ich bräuchte für den Rest auch noch die Lösungen um das ganze zu vergleichen. :)

LG Benito

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Ich habe ein anderes Ergebnis für die Ortskurve, nämlich eine zur x-Achse parallele Gerade:

w(x)=0,926

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wie kommen sie auf die gerade

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Mit Hilfe von desmos. Wenn ich den Parameter a verändere, wird die Kurve in x-Richtung verschoben, ohne ihre Form zu ändern.

f "(x)=-1/5(3x+a+3) müsste richtig sein.

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Hier mit ein wenig mehr Zwischenschritten:

Nach dem Ausmultiplizieren:

f(x)=- x³/10 + a·x²/10 - x²/10 + a²·x/10 - 3·a·x/5 + 4·x/5 - a³/10 + 7·a²/10 - 8·a/5 + 6/5

davon die zweite Ableitung

f "(x)=-3/5x+a/5-1/5

Diese =0 gesetzt und nach a aufgelöst:

a=3x+1

Dies in die Ausgangsgleichung eingesetzt und Zusammengefasst:

0,2(1-2x)³ Das ist der Term der Ortslinienfunktion.

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Ich habe mich vertippt, Entschuldigung.

Mit wolframalpha habe ich für die 2. Ableitung gefunden:

f"(x)=-1/5(3x+3a+1)

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Leider ist deine Lösung falsch, Roland. 

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Das möchte ich bezweifeln.

Übrigens ist deine zweite Ableitung falsch:

"Mit wolframalpha habe ich für die 2. Ableitung gefunden:
f"(x)=-1/5(3x+3a+1)"

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Ist ja nicht böse gemeint.

Ich habe die Klammern im Funktionsterm nicht ausmultipliziert, sondern mit Produkt und Kettenregel gerechnet. Vielleicht ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen.

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Habe meinen Fehler inzwischen (schon im Funktionsterm) gefunden. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Die Schnittpunkte mit der x-Achse findest du, indem du jede Klammer null setzt, da beide Klammern multipliziert werden und ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

N1(3-a|0) , N2(-2-a|0). Dabei ist -2-a eine doppelte Nullstelle, so dass hier wahrscheinlich ein Extremum vorliegt.

Für die Extrema brauchst du die 1. Ableitung, die du mit der Produktregel und der Kettenregel bildest.

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Ich habe auf dem Papier nachgerechnet und erhalte folgende Ergebnisse:

f(x)=-0,1(x-3+a)(x+2+a)²

f'(x)=-0,1(x+2+a)(3x-4+3a)  mit Produkt- und Kettenregel

f''(x)=-0,1(6x+2+6a)

xW=-1/3-a

xW in f(x) eingesetzt: yW=25/27=\(0,\overline{925}\)

Die Ortskurve der Wendepunkte wird durch y=25/27 beschrieben.

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Zum Dreieck PLW:

a=-2

f(x)= -0,1 (x-5)x²

Sieh dir einmal die Kurve K_-2 an. (Dafür bieten sich kostenlose Funktionsplotter an. Ich bevorzuge desmos.com, andere schwören auf GeoGebra. Beide sind kostenlos und ohne Werbung.)

Die Nullstellen liegen bei (0|0) und (5|0). Der Wendepunkt liegt bei W(4/3 | 88/135).

Rechts vom Wendepunkt liegt der variable Punkt P(x|f(x)) auf der Kurve. Der Punkt L(x|0) hat die gleiche x-Koordinate wie P und liegt auf der x-Achse.

Nun soll der Flächeninhalt des Dreiecks maximal werden. Dazu brauchen wir den Flächeninhalt.

Als Grundseite nehme ich die Strecke g=PL=f(x), als Höhe die Differenz h=x-x_W .

A=0.5·g·h

A=0.5·f(x)·(x-x_W)

A(x)=-0.05·(x-5)x²·(x-4/3)

Von dieser Funktion muss nun das Maximum bestimmt werden. (Ich hoffe, mich nicht verrechnet zu haben.)

Ich habe das einmal graphisch untersucht. Danach liegt der gesuchte x-Wert bei 3,894 und der maximale Flächeninhalt bei 2,147 Flächeneinheiten.

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Nun noch zu g(x):

Die Definitionslücken von g sind die Nullstellen von f.

Wie der Nachweis für das Minimum erfolgen soll, kann ich nur vermuten. Eventuell musst du die Kurve zwischen den Polstellen bei x=0 und x=5 untersuchen. In diesem Intervall verläuft die Kurve oberhalb der x-Achse und kommt und geht von +∞. Dann muss noch gezeigt werden, dass außerhalb dieses Intervalls kein lokales Extremum mehr auftritt.

Comments

Guck dir die Kurve mal mit desmos an. Dann siehst du, wie sich der Parameter a auswirkt. Hier ist a=-1.5:

https://www.desmos.com/calculator/vocnqfuegm

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Das habe ich verstanden nur wie es sich mit der 2 Aufgabe also dem Flächeninhalt und den Punkten auf sich hat bin ich ratlos. Auch bei dem letzten Punkt bin ich absolut hilflos.

Answer 3

f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2

Schnittpunkte mit der x- Achse :  y=0

-0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2 =0 |:( -0.1)

(x-3+a)(x+2+a)^2 =0

Satz vom Nullprodukt:

a) x-3+a =0

x=3-a

b)(x+2+a)^2 =0 | √(..)

x+2+a =0

x1.2= -2-a

S1 (3-a/0)

S2(-2-a/0)

Schnittpunkte mit der y- Achse :  x=0

f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2

f(x)= -0,1 (-3+a)(2+a)^2

f(x)=  (0.3 - a*0.1)(2+a)^2

f(x)=  (0.3 - a*0.1) ((4 +4a +a^2)

f(x)= -a^3/10 -a^2/10 + (4/5) a  +6/5