Hier ein Lösungsansatz mit den Cardanischen oder Cardanoschen Formeln.
Ich denke die Vorgehensweise von Der_Mathecoach ist die einfachere und schnellere, vorallem bei dieser Aufgabe.
Im Folgenden wird nur der Ansatz für den Fall gezeigt, dass die Diskriminante D<0 ist. Für die Fälle D=0 und D>0 sehen die Cardanischen Formeln anders aus. Der Lösungsansatz ist der Formelsammlung "Formeln + Hilfen zur höheren Mathematik" von G. Merziger, erschienen im Binomi Verlag, entnommen.
Kubische Gleichungen:
Normalform: \( x^{3}+a x^{2}+b x+c=0 \);
Reduzierte Form: \( y^{3}+p y+q=0 \);
mit: \( p=\frac{3 b-a^{2}}{3} ; q=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c \);
aus Substitution: \( x=y-\frac{a}{3} \);
Diskriminante: \( D=\left(\frac{p}{3}\right)^{3}+\left(\frac{q}{2}\right)^{2} \);
Cardanische Formeln für \( D<0 \) :
\( r:=\sqrt{-\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} ; \cos (\varphi):=-\frac{q}{2 r} ; \)
Lösungen der Normalform:
\( x_{1}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right)-\frac{a}{3} \)
\( x_{2}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \);
\( x_{3}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \)
1. Vergleich von Normalform mit Gleichung:
\( x^{3}-6 x^{2}+11 x-6=0 \);
\( x^{3}+a x^{2}+b x+c=0 ; \quad \Rightarrow a=-6, b=11, c=-6 \)
2. Berechnung von \( p \) und \( q \) :
\( \begin{array}{l} p=\frac{3 b-a^{2}}{3}=\frac{3 \cdot 11-36}{3}-1 \\ q=\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c=\frac{2(-6)^{3}}{27}-\frac{(-6) \cdot 11}{3}+(-6)=0 \end{array} \)
3. Berechnung der Diskriminante:
\( D=\left(\frac{p}{3}\right)^{3}+\left(\frac{q}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{0}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{27}<0 \text {; } \)
\( D<0 \)
⇒ drei paarweise verschiedene reelle Lösungen (paarweise verschieden: alle sind verschieden)
4. Alternativer Ansatz um komplexe Rechnung zu vermeiden:
\( r=\sqrt{-\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3}{2}} \)
\( \cos (\varphi)=-\frac{q}{2 r}=0 ; \quad \varphi=\arccos (O)=\frac{\pi}{2} \);
5. \( r, \varphi \) und a in Lösungsgleichungen einsetzen:
\( x_{1}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right)-\frac{a}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+2=3 \)
\( x_{2}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3}=1 \)
\( x_{3}=2 \sqrt[3]{r} \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3}=2 \)
