Gleichung höheren Grades lösen: x^4-2x^3-7x^2+8x+12 =0

Question

x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0

ich habs mit Polynomdivision probiert. Teiler von 12 gesucht (2)^4-2(-2)^3-7(-2)^2+8(-2)+12=0

                                                                                                                                        1+16-28-16+12=0

                                                                                                                                                                  0=0

dann die Polynomdivision:

x^4-2x^3-7x^2+8x+12:(x-2)=x^3-7x

x^4-2x^3

0        0   ?????

weiter weiß ich nicht mehr, wenn man jetzt mit -7x multipliziert fällt das 7x^2 weg usw. Aber wenn man so weiter macht hat man ein Gleichung mit x^3 und x, aber ohne x^2?

Answer 1

x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12 = 0

Ich finde alle Nullstellen im Bereich von -3 bis +3 bei

x = -2 ∨ x = -1 ∨ x = 2 ∨ x = 3

Da eine Gleichung 4. Grades maximal 4 Nullstellen haben kann habe ich alle gefunden und bin fertig.

Da braucht man dann auch keine Polynomdivision oder ähnliches machen.

Ich kann das Polynom also auch schreiben in Linearfaktoren

x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12 = (x + 2)(x + 1)(x - 2)(x - 3)