Spieltheorie, Bayesisches Nashgleichgewicht

Question

2 Spieler spielen simultan und unabhängig. Spieler 1 zahlt in x1 und Spieler 2 in x2.Wenn beide das tun erhalten sie 2(x₁+x₂+x₁x₂). x₁ und x₂ sind positive Zahlen.

Spieler 1 zahlt (x₁)² und erhält deshalb: u₁=2(x₁+x₂+x₁x₂)−(x₁)²

Spieler 2 zahlt t⋅(x2 )² und erhält desshalb: u₂=2(x₁+x₂+x₁x₂)−t⋅(x₂)²


t ist private Information von spieler 2 aber spieler eins weis, dass t mit 50% wahrscheinlichkeit 2 und mit 50% wahrscheinlichkeit 3 ist.

Frage: Was ist das bayesische Nashgleichgewicht?

Hinweis: Lösungsmenge in x₁,x₂ high und x₂low angegeben.
Lösungsmenge ist: {x₁,x₂high,x₂low}={17/7; 12/7;8/7}


Der Rechenweg ist mir leider unbekannt, da ich es nicht schaffe das 3-Variablengleichungssystem mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten aufzustellen.Weiter schaffe ich auch keine plausible trennung von x₂high und x₂low um diese Variablen einzufügen.

Wäre über Hilfe sehr dankbar und bräuchte den gesamten Lösungsweg.

Comments

Mit googeln finde ich zu bayesschem Nash-Gleichgewicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Perfektes_Bayessches_Gleichgewicht und http://wikiludia.mathematik.uni-muenchen.de/wiki/index.php?title=Bayes-Spiel

Vielleicht siehst du da, was gemeint sein könnte. Es müsste ja ungefähr zu deinen (neuen) mathematischen Kenntnissen passen. 

Zur Aufgabenstellung:

u_1,2 ist hier offenbar der Gewinn der Spieler. (Erhaltener Betrag - Einsatz)

Zu High und Low kommt man vielleicht, wenn man die 50% der Fälle mit t=2 und t=3 separat anschaut.

 

Answer 1

Das bayesische Nash-Gleichgewicht ist ein Konzept, bei dem jeder Spieler seine Strategie optimal anpasst, unter der Annahme, dass die anderen Spieler ihre Strategien beibehalten. Im gegebenen Spiel sind die Strategien der Spieler die Wahl der positiven Zahl x1 und x2.

Da die beiden Spieler unabhängig voneinander handeln, kann jeder Spieler seine Strategie unabhängig von der Strategie des anderen Spielers optimieren. Daher kann man das bayesische Nash-Gleichgewicht als die Lösung des folgenden Optimierungsproblems finden:

maximize u1(x1) for player 1 and maximize u2(x2) for player 2
subject to x1, x2 > 0

Da t mit 50% Wahrscheinlichkeit 2 und mit 50% Wahrscheinlichkeit 3 ist, kann man den Erwartungswert von u2(x2) berechnen, indem man die beiden möglichen Werte von t miteinander gewichtet:

u2(x2) = (0.5)(2(x1 + x2 + x1x2) - 2x2^2) + (0.5)(2(x1 + x2 + x1x2) - 3x2^2)

Man kann diese Funktionen in Bezug auf x1 und x2 optimieren, um das bayesische Nash-Gleichgewicht zu finden.