Maximierungsaufgabe mit Konzentrationen

Question

Ihr Ziel ist es, die Substanz C aus den Substanzen A und B durch die Reaktion

$$ A+B\rightleftharpoons 2C $$ (in Lösung) herzustellen. Dabei gehorchen die (kleinen) Konzentrationen im Gleichgewicht dem Massenwirkungsgesetz

$$ \frac { { c }_{ { C } } }{ { c }_{ A }{ c }_{ B } } =K $$ (kleines c = Konzentration)

Wir nehmen zunächst an, dass die Gleichgewichtskonstante K klein ist, z.B. $$ K={ 10 }^{ -2 } $$, sodass wir näherungsweise annehmen können, dass c_A und c_B im Gleichgewicht ca. gleich den Ausgangskonzentrationen sind.

a) Sie haben 10 Euro zur Verfügung, A und B kosten je 1 Euro pro Mol. Wieviel Mol C können Sie damit maximal herstellen? In welchem Verhältnis müssen Sie dafür A und B Einkaufen?

b) Nun kostet A 1 Euro und B 2 Euro pro Mol. WIeviel Mol C können Sie mit 10 Euro wiederrum herstellen, und wieviel Mol A und B müssen Sie jeweils einkaufen?

c) Lösen Sie die Teilaufgabe b) für K=1, d.h. ohne die Annahme, dass K klein ist.

Wie kann ich dies Lösen? Ich weiss dass ich eine Funktion finden muss und diese dann ableiten muss, um das Maximum herauszufinden, aber wie komme ich auf eine differentierbare Funktion mit diesen Angaben und 3 Unbekannten?

Comments

Zusatz für nicht-Chemiker:
$$ K\ll 1,\quad Gleichgewicht\quad liegt\quad auf\quad der\quad Seite\quad der\quad Edukte\quad (A,B),\quad \\ K\gg 1,\quad Gleichgewicht\quad liegt\quad auf\quad der\quad Seite\quad der\quad Produkte\quad (C)\\ K=0,\quad Edukte\quad und\quad Produkte\quad sind\quad im\quad Gleichgewicht $$