Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie linear abhängig sind.
Wir untersuchen diese Vektoren also auf lineare Unabhängigkeit. Das heißt die linearkombination zweier Vektoren, darf den dritten nicht ergeben. Hier also
r·[1, 7, 2] + s·[1, 2, 1] = [2, -1, 1]
Die ersten beiden Zeilen geben folgendes Gleichungssystem
r + s = 2
7r + 2s = -1
Die Lösung wäre hier r = -1 ∧ s = 3
Setzte ich das in die dritte Gleichung ein
2r + s = 2*(-1) + 3 = 1
So ist die dritte Gleichung auch erfüllt und die Vektoren sind somit linear abhängig bzw. komplanar.
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Folgender Hinweis ist für die, die schon etwas weiter in der Materie sind:
Sehr einfach ist es auch einfach die Determinante der drei Vektoren zu berechnen.
DET([1, 7, 2; 1, 2, 1; 2, -1, 1]) = 0
Wir können die Determinante auch als Spatprodukt dieser 3 Vektoren auffassen. Die Determinante entspricht damit auch dem Rauminhalt des von den Vektoren aufgespannten Raumes. Ist dieser Null wird nur eine Ebene aufgespannt und die Vektoren sind komplanar.
