Bestimmte Erklärung zu Linearen Gleichungssystemen und Matrizen gesucht

Question

Wenn A∈K^mxn und A'∈K^nxm und A'*A=E⁽ⁿ⁾ gilt, wieso hat das lineare Gleichungssystem Ax=b für jedes b∈K^mx1 höchstens eine Lösung für x∈K^nx1 und das LGS A'x=b für jedes b∈K^nx1 mindestens eine Lösung für x∈K^mx1? Kann mir das jemand mit nem verständlichen Beweis erklären?

Answer 1

Ax=b multipizierst du (von links ) mit A'. Das gibt
A'*A*x=A'*b
Da A'*A=E ist, ist das
E * x = A'*b
Nun ist aber E*x=x nach Def von E, also steht da
x= A'*b
Das x ist also das Ergebnis von A'*b, nach meinem Gefühl
heißt das: Es gibt genau eine (und damit natürlich auch höchstens eine) Lösung.

Bei dem anderen Fall multiplizierst du das gegebene Gleichungssystem
(die Matrizengleichung) von links mit A.
Die Lösung (ich meine auch hier gibt es immer genau eine) ist
dann x=A*b

Comments

Wieso gehst Du davon aus das \( A\cdot A^t=E^{(m)}\) gilt. Es ist lediglich \( A^t\cdot A=E^{(n)} \) gegeben.

Bei (1) kann  man noch zeigen, dass wenn es zwei Lösungen gibt, sie identisch sein müssen, weil \( Ax-Ay=A(x-y)=0 \) gilt für zwei Lösungen \(x \) und \( y \) und durch Multiplikation von links mit \( A^t \) folgt, \(  x-y=0 \) also \(x=y\)

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ok, da hatte ich wohl nicht so genau hingeschaut.

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Kann man zu (2) auch beweisen, dass es keine Lösung gibt?

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Hat es da noch irgendeine zusätzliche Voraussetzung?

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Keine Weiteren.

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Da \(A^T A = E \) gilt und auch \( \text{rang}(A^T A)=rang(A^T)=n \) gilt, folgt, \( A^T \) hat vollen Zeilenrang und ist damit surjektiv. Also gibt es mindestens eine Lösung von \( A^Tx=b \)