Transformation in der Statistik

Question

Aufgabe - Statistik Mabrablen für Lage und Streuung:

- Bei linearer Transformation der Daten wird das arithmetische Mittel entsprechend mittransformiert:

\( y_{i}=a+b x_{i} \quad \Rightarrow \quad \bar{y}=a+b \bar{x} \)

- Für monotone Transformationen \( g \) wird der Median entsprechend mittransformiert:

\( y_{i}=g\left(x_{i}\right) \quad \Rightarrow \quad y_{\text {med }}=g\left(x_{\text {med }}\right) \text {. } \)

- Für ein-eindeutige Transformationen \( g \) wird der Modus mittransformiert:

\( y_{i}=g\left(x_{i}\right) \quad \Rightarrow \quad y_{\bmod }=g\left(x_{\bmod }\right) \)

Deskriptive Statistik

Ansatz/Problem:

Ich kann mit dem Begriff Transformation in diesem Zusammenhang nichts anfangen und auch nicht wirklich mit den Aussagen y_i = ...

Die Frage die zuvor gestellt wurde ist: Wie ändern sich die Lagemaße, wenn anstelle der ursprünglichen Messungen x_i transformierte Daten y_i = g(x_i) verwendet werden?

Answer 1

Transformationen bedeuten in diesem Sinne, dass du deine Daten auf eine andere Skalierung/Form/Darstellung bringst.

Als Beispiel: Stell dir vor du hättest Temperatur in Grad-Celsius gemessen und willst aber deine Ergebnisse in Grad Fahrenheit angeben.

Die Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit ist °F = 1,8 * °C + 32

Das bedeutet du würdest eine lineare Transformation deiner Messdaten x  (die in °c) sind machen und messwerte y in ° F bekommen:

$$y_i = 1,8x_i +32 $$

Was interessant bei solchen Transformationen ist, ist dass du zum Beispiel den Mittelwert deiner transformierten Daten nicht extra berechnen musst sondern die Transformation einfach direkt auf den Mittelwert deiner Messung machen kannst.

Da lineare Transformationen monton und eindeutig sind, gilt dasselbe für den Median und den Modus.

Hoffe das Beispiel macht dies verständlicher.

(Es gibt auch Transformationen bei denen dies nicht mehr funktioniert)

Gruß

Comments

Okay verstehe, hätte ich bspw. 10 Temperaturen in Celsius und der Mittelwert dieser Temperaturen wäre 7 Grad, kann ich den Mittelwert also einfach mit der entsprechenden Umrechnungsformel in Fahrenheit bringen und habe auch für diese Form den korrekten Mittelwert.

Aber woher weiß ich denn ob die Transformation linear ist oder eben nicht? Ich könnte bspw. nicht erkennen, dass die Umrechnung von Celsius in Fahrenheit linear ist. Bedeutet linear in diesem Fall, ich bekomme für eine Temperatur x in Celsius genau einen Wert y in Fahrenheit?

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort :)

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ja genau du hast es erfasst du kriegst so direkt den mittelwert der Größen in Fahrenheit. (den modus und median genauso).

Eine lineare Funktion f allgemein erkennt man daran, dass für sie gilt

f(x+y) = f(x) + f(y), und f(ax) = a*f(x) wobei x,y aus der Definitionsmenge und a ein Skalar ist.

Ich denke aber das dir diese Definition nicht so großartig was bringt ;)

Was dich aber vielleicht mehr interessiert, ist zum Beispiel das Funktionen der Form

f(x) = mx +b, wobei m und b reelle Zahlen sind, linear sind. (Das sind übrigens gezeichnet einfach nur Geraden).

Funktionen in denen zum Beispiel ein Exponent für x größer als 2 ist, sind schon nicht mehr linear

Beispiel: (Parabel) f(x) = x² +3

Gruß